2020年高中数学 第一章 立体几何初步 6 6.1 垂直关系的判定课时跟踪检测 北师大版必修2

6.1垂直关系的判定课时跟踪检测一、选择题1若直线l不垂直于平面，那么平面内()a不存在与l垂直的直线b只存在一条与l垂直的直线c存在无数条直线与l垂直d以上都不对解析：可在正方体中考虑问题设平面a1b1c1d1为平面，直线b1c为直线l，且l与不垂直但在底面内，所有与a1b1平行的直线都与l垂直答案：c2如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线有如下情况：三角形的两条边；梯形的两条边；圆的两条直径；正六边形的两条边不能保证直线与平面垂直的是()abc d解析：三角形任意两边为相交直线若与两底所在直线垂直，则不能判断线面垂直直径必相交若垂直于正六边形互相平行的边，则不能保证线面垂直答案：c3在正方体abcda1b1c1d1中，与ad1垂直的平面是()a平面dd1c1cb平面a1db1c平面a1b1c1d1d平面a1db解析：ad1a1d，ad1a1b1，又a1da1b1a1，ad1平面a1db1.答案：b 4如图，ab是圆的直径，pa垂直于圆所在的平面，c是圆上一点(不同于a，b)且paac，则二面角pbca的大小为()a60 b30c45 d90解析：ab是圆的直径，bcac.又pa平面abc，bc平面abc，pabc，即bcpa，又acpaa，bc平面pac，bcpc.pca为二面角pbca的平面角又paac，pca45.答案：c5已知如图，六棱锥pabcdef的底面是正六边形，pa平面abcdef，则下列结论不正确的是()acd平面pafbdf平面pafccf平面pabdcf平面pad解析：由正六边形的性质及pa平面abcdef，可推得a，b，c均正确，而d不正确因为四边形acdf不是正方形，cf与ad不垂直答案：d6如图，在三棱锥pabc中，已知pcbc，pcac，点e，f，g分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()a平面efg平面pbcb平面efg平面abccbpc是直线ef与直线pc所成的角dfeg是平面pab与平面abc所成二面角的平面角解析：a正确，gfpc，gecb，gfgeg，pccbc，平面efg平面pbc；b正确，pcbc，pcac，pcgf，gfbc，gfac，又bcacc，gf平面abc，平面efg平面abc；c正确，易知efbp，bpc是直线ef与直线pc所成的角；d错误，ge与ab不垂直，feg不是平面pab与平面abc所成二面角的平面角答案：d二、填空题7如图，在正方体abcda1b1c1d1中，平面acd1与平面bb1d1d的位置关系是_解析：由题意知，ac平面bb1d1d，且ac平面acd1.平面acd1平面bb1d1d.答案：平面acd1平面bb1d1d8已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于_解析：如图，o为abc的中心，sco即为所求角由题意，设底面边长为a，则侧棱长为2a|co|aa.cossco.答案：9在二面角l中，a，ab平面，bc平面 于c，ab6，bc3，则二面角l的平面角的大小为_解析：当二面角l是锐二面角时，因为ab且l，所以abl.因为bc，l，所以bcl，所以l平面abc，所以lac.设垂足为h.所以bh平面abc，所以lbh，所以ahb为二面角l的平面角rtbca中，ab6，bc3，所以bac30.rtabh中，因为bah30，所以ahb60.同理，当二面角l为钝二面角时，可得所求二面角的平面角为120.综上，所求角大小为60或120.答案：60或120三、解答题10如图，rtabc所在平面外有一点s，且sasbsc，点d为斜边ac的中点(1)求证：sd平面abc；(2)若abbc，求证：bd平面sac.证明：(1)sasc，d为ac中点，sdac，rtabc中，adcdbd.又sasb，sdsd，adsbds，sdbd.又acbdd，ac，bd平面abc，sd平面abc.(2)babc，d为ac中点，bdac.由(1)知sd面abc，又bd平面abc，sdbd，于是bd垂直于平面sac内的两条相交直线，bd平面sac.11.(2017江苏卷)如图，在三棱锥abcd中，abad，bcbd，平面abd平面bcd，点e，f(e与a，d不重合)分别在棱ad，bd上，且efad.求证：(1)ef平面abc；(2)adac.证明：(1)在平面abd内，abad，efad，efab.又ef平面abc，ab平面abc，ef平面abc.(2)平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，bc平面bcd，bcbd，bc平面abd.ad平面abd，bcad.又abad，bcabb，ab平面abc，bc平面abc，ad平面abc.又ac平面abc，adac.12如图，在三棱台defabc中，ab2de，点g，h分别为ac，bc的中点(1)求证：bd平面fgh；(2)若cfbc，abbc，求证：平面bcd平面egh.证明：(1)因为defabc是三棱台，且ab2de，所以bc2ef，ac2df.因为点g，h分别是ac，bc的中点，所以ghab.因为ab平面fgh，gh平面fgh，所以ab平面fgh.因为efbh且efbh，所以四边形bhfe是平行四边形，所以behf.因为be平面fgh，hf平面fgh，所以be平面fgh；又因为abbeb，所以平面abe平面fgh，因为bd平面abe，所以bd平面fgh.(2)因为ab2de，所以bc2ef，因为h是bc的中点，所以hcbcef，又hcef，所以四边形hcfe是平行四边形，所以hecf.因为cfbc，所以hebc.因为ghab，abbc.所以ghbc.因为ghheh，所以bc平面egh.又bc平面bcd，所以平面bcd平面egh.13如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱a1a底面abc，且各棱长均相等d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点(1)证明：ef平面a1cd；(2)证明：平面a1cd平面a1abb1；(3)求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值解：(1)证明：如图，在三棱柱abca1b1c1中，aca1c1，且aca1c1，连接ed，在abc中，因为d，e分别为ab，bc的中点，所以deac，且deac，又因为f为a1c1的中点，可得a1fde，且a1fde，即四边形a1def为平行四边形，所以efda1.又ef平面a1cd，da1平面a1cd，所以ef平面a1cd.(2)证明：由于底面abc是正三角形，d为ab的中点，故cdab，又由于侧棱a1a底面abc，cd平面abc，所以a1acd，又a1aaba，因此cd平面a1abb1，而cd平面a1cd，所以平面a1cd平面a1abb1.(3)在平面a1abb1内，过点b作bga1d交直线a1d于