2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间图形的基本关系与公理练习 理 北师大版

第2讲 空间图形的基本关系与公理 基础题组练1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()a4个 b3个c2个 d1个解析：选a.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选b.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故a错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，b正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故c错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故d错3如图，abcda1b1c1d1是长方体，o是b1d1的中点，直线a1c交平面ab1d1于点m，则下列结论正确的是()aa，m，o三点共线 ba，m，o，a1不共面ca，m，c，o不共面 db，b1，o，m共面解析：选a.连接a1c1，ac，则a1c1ac，所以a1，c1，c，a四点共面，所以a1c平面acc1a1，因为ma1c，所以m平面acc1a1.又m平面ab1d1，所以m在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上，同理a，o在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上所以a，m，o三点共线4.(2020广东东莞模拟)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc的中点，则下列叙述正确的是()acc1与b1e是异面直线bac平面abb1a1cae，b1c1为异面直线，且aeb1c1da1c1平面ab1e解析：选c.因为cc1与b1e都在平面cc1b1b内，且cc1与b1e是相交直线，所以选项a错误假设ac平面abb1a1，则acab，即cab90，从而可得c1a1b190，这与题设“底面三角形a1b1c1是正三角形”矛盾，故假设错误，即选项b错误因为点b1ae，直线b1c1交平面aeb1于点b1，所以ae，b1c1为异面直线；由题意可知abc是正三角形，又e是bc的中点，所以aebc，结合bcb1c1可得aeb1c1，故选项c正确因为直线ac交平面ab1e于点a，又aca1c1，所以直线a1c1与平面ab1e相交，故选项d错误综上，选c.5在各棱长均相等的直三棱柱abca1b1c1中，已知m是棱bb1的中点，n是棱ac的中点，则异面直线a1m与bn所成角的正切值为()a. b1c. d解析：选c.法一：如图，取aa1的中点p，连接pn，pb，则由直三棱柱的性质可知a1mpb，则pbn为异面直线a1m与bn所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则pn，pb，bn，所以pn2bn2pb2，所以pnb90，在rtpbn中，tanpbn，故选c.法二：以n为坐标原点，nb，nc所在的直线分别为x轴，y轴，过点n与平面abc垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ab2，则n(0，0，0)，a1(0，1，2)，b(，0，0)，m(，0，1)，所以(，0，0)，(，1，1)，设直线a1m与bn所成的角为，则cos |cos，|，则sin ，tan .6如图所示，在空间四边形abcd中，点e，h分别是边ab，ad的中点，点f，g分别是边bc，cd上的点，且，则下列说法正确的是_ef与gh平行；ef与gh异面；ef与gh的交点m可能在直线ac上，也可能不在直线ac上；ef与gh的交点m一定在直线ac上解析：连接eh，fg(图略)，依题意，可得ehbd，fgbd，故ehfg，所以e，f，g，h四点共面因为ehbd，fgbd，故ehfg，所以efgh是梯形，ef与gh必相交，设交点为m.因为点m在ef上，故点m在平面acb上同理，点m在平面acd上，所以点m是平面acb与平面acd的交点，又ac是这两个平面的交线，所以点m一定在直线ac上答案：7一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：afgc；bd与gc成异面直线且夹角为60；bdmn；bg与平面abcd所成的角为45.其中正确的是_(填序号)解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)对于，由图形知af与gc异面垂直，故正确；对于，bd与gc显然成异面直线如图，连接eb，ed，则begc，所以ebd即为异面直线bd与gc所成的角(或其补角)在等边bde中，ebd60，所以异面直线bd与gc所成的角为60，故正确；对于，bd与mn为异面垂直，故错误；对于，由题意得，gd平面abcd，所以gbd是bg与平面abcd所成的角但在rtbdg中，gbd不等于45，故错误综上可得正确答案：8(2020河南安阳调研四)在正方体abcda1b1c1d1中，点e平面aa1b1b，点f是线段aa1的中点，若d1ecf，则当ebc的面积取得最小值时，_解析：如图所示，连接b1d1，取ab的中点g，连接d1g，b1g.由题意得cf平面b1d1g，所以当点e在直线b1g上时，d1ecf，设bca，则sebcebbceba，当ebc的面积取最小值时，线段eb的长度为点b到直线b1g的距离，所以线段eb长度的最小值为，所以.答案：9如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e，c，d1，f四点共面；(2)ce，d1f，da三线共点证明：(1)如图，连接ef，cd1，a1b.因为e，f分别是ab，aa1的中点，所以efba1.又a1bd1c，所以efcd1，所以e，c，d1，f四点共面(2)因为efcd1，efcd1，所以ce与d1f必相交，设交点为p，如图所示则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，所以p直线da，所以ce，d1f，da三线共点10.如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，d是pc的中点已知bac，ab2，ac2，pa2.求：(1)三棱锥pabc的体积；(2)异面直线bc与ad所成角的余弦值解：(1)sabc222，三棱锥pabc的体积为vsabcpa22.(2)如图，取pb的中点e，连接de，ae，则edbc，所以ade(或其补角)是异面直线bc与ad所成的角在ade中，de2，ae，ad2，cosade.故异面直线bc与ad所成角的余弦值为.综合题组练1(2020广东深圳二模)已知正方体abcda1b1c1d1，p为棱cc1上的动点，q为棱aa1的中点，设直线m为平面bdp与平面b1d1p的交线，则()amd1qbm平面b1d1qcmb1qdm平面abb1a1解析：选b.因为正方体abcda1b1c1d1中，p为棱cc1上的动点，q为棱aa1的中点，直线m为平面bdp与平面b1d1p的交线，且bdb1d1，所以mbdb1d1，因为m平面b1d1q，b1d1平面b1d1q，所以m平面b1d1q.故选b.2在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是dd1和ab的中点，平面b1ef交棱ad于点p，则pe()a. b c. d解析：选d.过点c1作c1gb1f，交直线cd于点g，过点e作hqc1g，交cd延长线，c1d1于点h，q，连接b1q，hf交ad于点p，hqb1f，所以q，h，f，b1四点共面，易求得hdd1q，由pdhpaf可得2，则pd，在rtped中，pe ，故选d.3.如图，在直二面角abdc中，abd，cbd均是以bd为斜边的等腰直角三角形，取ad的中点e，将abe沿be翻折到a1be，在abe的翻折过程中，下列不可能成立的是()abc与平面a1be内某直线平行bcd平面a1becbc与平面a1be内某直线垂直dbca1b解析：选d.连接ce，当平面a1be与平面bce重合时，bc平面a1be，所以平面a1be内必存在与bc平行和垂直的直线，故a，c可能成立；在平面bcd内过b作cd的平行线bf，使得bfcd，连接ef，则当平面a1be与平面bef重合时，bf平面a1be，故平面a1be内存在与bf平行的直线，即平面a1be内存在与cd平行的直线，所以cd平面a1be，故b可能成立若bca1b，又a1ba1e，则a1b为直线a1e和bc的公垂线，所以a1bce，设a1b1，则经计算可得ce，与a1bce矛盾，故d不可能成立故选d.4如图，已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，长为2的线段mn的一个端点m在棱dd1上运动，点n在正方体的底面abcd内运动，则mn的中点p的轨迹的面积是_解析：连接dn，则mdn为直角三角形，在rtmdn中，mn2，p为mn的中点，连接dp，则dp1，所以点p在以d为球心，半径r1的球面上，又因为点p只能落在正方体上或其内部，所以点p的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积s4r2.答案：5.已知三棱柱abca1b1c1的侧棱长和底面边长均为2，a1在底面abc内的射影o为底面三角形abc的中心，如图所示(1)连接bc1，求异面直线aa1与bc1所成角的大小；(2)连接a1c，a1b，求三棱锥c1bca1的体积解：(1)因为aa1cc1，所以异面直线aa1与bc1所成的角为bc1c或其补角连接ao，并延长与bc交于点d，则d是bc边上的中点因为点o是正三角形abc的中心，且a1o平面abc，所以bcad，bca1o，因为ada1oo，所以bc平面ada1.所以bcaa1，又因为aa1cc1，所以cc1bc，bccc1b1c1bb12，即四边形bcc1b1为正方形，所以异面直线aa1与bc1所成角的大小为.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，所以可求得ad，aoad，a1o.所以vabca1b1c1sabca1o2，va1bcc1b1vabca1b1c1va1abc，所以vc1bca1va1bcc1va1bcc1b1.6.(2020衡阳模拟)如图，四棱锥mabcd中，cdadab90，ab2dc，mcd与mad都是等边三角形，且点m在底而abcd上的射影为o.(1)证明：o为ac的中点；(2)求异面直线md与bc所成角的大小解：(1)证明：连接ac，取ac的中点n，连接mn，dn，因为mcd与mad都是等边三角形，且公共边为md，所以mcmamddadc，又因为n是ac的中点，所以mnac，在rtadc中，dnncac，所以mndmnc，得