2021版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习 理 北师大版

第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础题组练1从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数的个数是()a30b42c36 d35解析：选c.因为abi为虚数，所以b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数2已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()a40 b16c13 d10解析：选c.分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面3已知集合px，1，qy，1，2，其中x，y1，2，3，9，且pq.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()a9 b14c15 d21解析：选b.因为px，1，qy，1，2，且pq，所以xy，2所以当x2时，y3，4，5，6，7，8，9，共7种情况；当xy时，x3，4，5，6，7，8，9，共7种情况故共有7714种情况，即这样的点的个数为14.4从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()a3 b4c6 d8解析：选d.当公比为2时，等比数列可为1，2，4或2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同理公比为，时，也有4个故共有8个等比数列5(2020兰州模拟)将边长为3的正方形abcd的每条边三等分，使之成为33表格将其中6个格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法的种数为()a12 b6c36 d18解析：选b.根据题意可按照列选择染色的元素，第一列可有3种选择方式，第一列方格标号为1，2，3.当第一列选定时比如选定1，2，第二列有两种选择，染第一行和第三行，或者染第二行和第三行，当第二列确定时，第三列也就确定了故共326种染色方法故选b.6在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()a24种 b48种c72种 d96种解析：选c.分两种情况：(1)a，c不同色，先涂a有4种，c有3种，e有2种，b，d有1种，有43224(种)(2)a，c同色，先涂a有4种，e有3种，c有1种，b，d各有2种，有432248(种)综上两种情况，不同的涂色方法共有482472(种)7某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母b，c，d中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()a180种 b360种c720种 d960种解析：选d.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)8直线l：1中，a1，3，5，7，b2，4，6，8若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为()a6 b7c8 d16解析：选b.l与坐标轴围成的三角形的面积为sab10，即ab20.当a1时，不满足；当a3时，b8，即1条当a5，7时，b4，6，8，此时a的取法有2种，b的取法有3种，则直线l的条数为236.故满足条件的直线的条数为167.故选b.9一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从p点处进，q点处出，沿图中线路游览a，b，c三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点o外)的不同游览线路有()a6种 b8种c12种 d48种解析：选d.从p点处进入结点o以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完a景点，再进入另外两个景点，最后从q点处出有(44)216种不同的方法；同理，若先游览b景点，有16种不同的方法；若先游览c景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有31648(种)10我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013 是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()a18个 b15个c12个 d9个解析：选b.依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计：363315(个)11满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()a14 b13c12 d10解析：选b.当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对(0，1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(2，1)，(2，0)综上，满足要求的有序数对共有13个，故选b.12将1，2，3，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()34a.6种 b12种c18种 d24种解析：选a.根据数字的大小关系可知，1，2，9的位置是固定的，如图所示，则剩余5，6，7，8这4个数字，而8只能放在a或b处，若8放在b处，则可以从5，6，7这3个数字中选一个放在c处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在a处，也有3种方法，所以共有6种方法.12d34acb913.从集合1，2，3，4，10中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有_个解析：将和等于11的数放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有c2种，共有2222232个子集答案：3214从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学生委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人担任文娱委员，有3种选法第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336(种)答案：3615.(一题多解)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形a，b，c，d中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种解析：法一：首先涂a有4种涂法，则涂b有3种涂法，c与a，b相邻，则c有2种涂法，d只与c相邻，则d有3种涂法，所以共有432372种涂法法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时a有4种涂法，b有3种涂法，c有2种涂法，d有1种涂法，共有432124种涂法；二是用3种颜色，这时a，b，c的涂法有43224种，d只要不与c同色即可，故d有2种涂法，所以不同的涂法共有2424272(种)答案：7216在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排故安排方式有43224(种)第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321120(种)故安排这8人的方式共有241202 880(种)答案：2 880综合题组练1用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有()a4 320种 b2 880种c1 440种 d720种解析：选a.分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法根据分步乘法计数原理可知，共有6543344 320种不同的涂色方法，故选a.2在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()a6种 b12种c18种 d20种解析：选d.分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有236种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有212种情形所有可能出现的情形共有261220种故选d.3已知abc三边a，b，c的长都是整数，且abc，如果b25，则符合条件的三角形共有_个解析：根据三边构成三角形的条件可知，c25a.第一类：当a1，b25时，c可取25，共1个值；第二类，当a2，b25时，c可取25，26，共2个值；当a25，b25时，c可取25，26，49，共25个值；所以三角形的个数为1225325.答案：3254若m，n均为非负整数，在做mn的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而mn称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是_解析：第1步，110，101，共2种组合方式；第2步，909，918，927，936，990，共10种组合方式；第3步，404，413，422，431，440，共5种组合方式；第4步，202，211，220，共3种组合方式根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为21053300.答案：3005已知集合m3，2，1，0，1，2，若a，b，cm，则：(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数？(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解：(1)yax2bxc表示二次函数时，a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数(2)当yax2bxc的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数6如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数解：法一：按所用颜色种数分类第一类：5种颜色全用，共有a种不同的方法；第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(a与c，或b与d)，共有2a种不同的方法；第三类：只用3种颜色，则a与c，b与d必定同色，共有a种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为a2aa42