Asin（ωx+φ）及三角函数模型的简单应用练习 新人教B版

4.5 正弦型函数y=asin（x+）及三角函数模型的简单应用核心考点精准研析考点一函数y=asin(x+)的图象及图象变换1.若函数f (x)=cos2x-6,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象()a.向右平移6个单位长度b.向右平移3个单位长度c.向左平移6个单位长度d.向左平移3个单位长度2.若将函数y=2cos x(sin x+cos x)-1的图象向左平移个单位,得到的函数是偶函数,则的最小正值是()a.8b.38c.2d.343.已知函数f(x)=sin(x+)(0),若f(x)的图象向左平移3个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移6个单位所得的图象重合,则的最小值为_.4.已知函数f(x)=4cos xsin x+6+a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期.(2)画出f(x)在0,上的图象.【解析】1.选a.f (x)=cos2x-6=sin2+2x-6=sin2x+3=sin 2x+6,为了得到g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移6个单位长度即可.2.选a.化简函数:y=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2 x-1=sin 2x+cos 2x=2 sin2x+4,向左平移个单位可得y=2 sin2x+2+4,因为y=2 sin2x+2+4是偶函数,所以2+4=2+k,kz,=k2+8,kz,由k=0可得的最小正值是8.3.函数f(x)=sin(x+)(0),把f(x)的图象向左平移3个单位所得的图象为y=sinx+3+=sinx+3+,把f(x)的图象向右平移6个单位所得的图象为y=sinx-6+=sinx-6+,根据题意可得y=sinx+3+和y=sinx-6+的图象重合,故3+=2k-6+,kz,求得=4k,kz,故的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cos xsinx+6+a=4cos x32sinx+12cosx+a=3sin 2x+2cos 2x+a=3sin 2x+cos 2x+1+a=2sin2x+6+1+a的最大值为2,所以a=-1,最小正周期t=22=.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+6,列表:x065122311122x+662322136f(x)=2sin2x+6120-201画图如图所示:1.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=asin(x+)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2.y=asin(x+)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=x+计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解t1,变形f(x)=sin2x+3,观察发现=2,所以不能平移3,排除b,d;代入a,c检验,可知选a.t4,可用伸缩法画f(x)的图象.考点二由图象求解析式【典例】1.函数f(x)=sin(x+)0,|0,0,|)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为_.【解题导思】序号联想解题1看到a,b两点的横坐标,想到了求周期,从而求.由a,b两点的位置想到了特殊点,从而求.2由图象的最高点及最低点,想到了求a以及周期,从而确定,由特殊点的坐标想到了求.【解析】1.选c.t=21112-512=2,所以=2,所以f(x)=sin (2x+).由五点作图法知a512,1是第二个点,得2512+=2+2k(kz),所以=-3+2k(kz),又|2,所以=-3,f(x)=sin2x-3.由2x-3=k(kz),得x=k2+6(kz).所以f(x)图象的对称中心为k2+6,0(kz).【一题多解】选c.由题图知,a,b中点为23,0是一个对称中心,t2=1112-512=2,所以全部对称中心为23+k2,0(kz),等价于k2+6,0(kz).2.由题图知a=2,t4=712-3=4,所以t=,=2,所以f(x)=2sin(2x+),又3,0对应五点法作图中的第三个点,所以23+=+2k(kz),=3+2k(kz),又|0,0)的解析式的步骤(1)求a,b,确定函数的最大值m和最小值m,则a=m-m2,b=m+m2.(2)求,确定函数的周期t,则=2t.(3)求,常用方法有:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为x+=2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x+=;“第四点”(即图象的“谷点”)为x+=32;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=2.1.已知函数f(x)=asin(x+)a0,0,|0,|0的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是_.【解析】由图象知a=2,又1=2sin(0+),即sin =12,又|0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+3(2sin2x-1)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3.由最小正周期为,得=1,所以f(x)=2sin2x-3,由2k-22x-32k+2(kz),整理得k-12xk+512(kz),所以函数f(x)的单调递增区间是k-12,k+512(kz).(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象;所以g(x)=2sin 2x+1.令g(x)=0,得x=k+712或x=k+1112(kz),所以在0,上恰好有两个零点,若y=g(x)在0,b上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4+1112=5912.方程的根与函数图象的交点有何关系?提示:方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.综合应用问题【典例】(2019全国卷)设函数f(x)=sinx+5(0),已知f(x)在0,2上有且仅有5个零点,下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在0,10上单调递增的取值范围是125,2910.其中所有正确结论的编号是()a. b. c. d.【解析】选d.若f(x)在0,2上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点,所以正确.由图1、图2可知,f(x)在(0,2)有且仅有2个或3个极小值点,故错误.函数f(x)=sinx+5的增区间为-2+2kx+52+2k(kz),2k-710x310+2k.取k=0,当=125时,单调递增区间为-724x18;当=2910时,单调递增区间为-729x2,解得1250,0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 022)的值等于()a.2b.2+22c.2+2d.2-2【解析】选a.由图象知a=2,=0,t=8,所以2=8,即=4,所以f(x)=2sin4x.因为周期为8,且f(1)+f(2)+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2sin4+2sin2+2sin 34+2sin +2sin54+2sin32=2.2.(2019全国卷)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间2,单调递增f(x)在-,有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()a.b.c.d.【解析】选c.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故正确.当2x时,f(x)=2sin x,它在区间2,单调递减,故错误.当0x时,f(x)=2sin x,它有两个零点:0,;当-x0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2s