九年级数学下册 第28章圆28.1圆的认识 3圆周角课件 华东师大版

3 圆周角 1 圆周角 1 圆周角的定义顶点在 上 并且两边都和圆 的角叫做圆周角 2 如图 圆中的圆周角是 abc 圆 相交 acd acb bac bad cad adc bcd 2 圆周角定理及推论 1 圆周角的定理在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 相等的圆周角所对的弧 相等 一半 相等 2 推论半圆或直径所对的圆周角都 都等于 90 的圆周角所对的弦是圆的 用符号语言来表示 如图 ab是 o的直径 acb 90 acb 90 ab是 o的直径 相等 90 直径 3 如图 a是 o的圆周角 且 a 35 则 boc 因为oc ob 所以 obc 根据三角形内角和定理 可得 obc 点拨 圆心角 圆周角之间的转化 关键是找到等弧或同弧 70 ocb 55 预习思考 表示圆周角时应注意什么问题 提示 1 三个字母表示时 应按顺序写 且表示顶点的字母在中间 2 单独一个字母表示时 用表示顶点的字母即圆上的点来表示 弧 圆周角 圆心角的关系 例1 2011 潜江中考 如图 bd是 o的直径 a c是 o上的两点 且ab ac ad与bc的延长线交于点e 1 求证 abd aeb 2 若ad 1 de 3 求bd的长 解题探究 1 在 abd和 aeb中 有相等的角吗 答 有一对公共角 bad eab 如何找出另一组角相等 答 ab ac 根据圆周角定理可得 adb abe 由 可知 abd和 aeb中有两对对应角相等 所以 abd aeb 2 由 1 中所得到的相似三角形 如何求出ab 答 abd aeb ab2 ad ae 4 ab 2 如何求出bd的长 答 bd是 o的直径 dab 90 在rt abd中 bd2 ab2 ad2 5 bd 互动探究 圆周角和圆心角 弧的关系是什么 提示 1 由于圆心角的度数等于它所对的弧的度数 所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 2 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 规律总结 利用圆周角定理进行证明时的两点注意1 圆周角定理适用的范围是在同圆或等圆中 2 在证明时 此定理可以直接作为已知条件使用 跟踪训练 1 2012 重庆中考 已知 如图 oa ob是 o的两条半径 且oa ob 点c在 o上 则 acb的度数为 a 45 b 35 c 25 d 20 解析 选a 因为oa ob 所以 aob 90 由圆周角定理可知 acb 45 2 2012 黔东南中考 如图 若ab是 o的直径 cd是 o的弦 abd 55 则 bcd的度数为 a 35 b 45 c 55 d 75 解析 选a 连结ad ab是 o的直径 adb 90 a 90 55 35 根据同弧所对的圆周角相等可得 bcd a 35 3 如图 abc内接于 o 已知 a 55 则 boc 解析 根据圆周角和圆心角的关系可得 boc 2 a 110 答案 110 圆周角定理的综合应用 例2 8分 如图 ab是 o的直径 c是的中点 ce ab于e bd交ce于点f 1 求证 cf bf 2 若cd 6 ac 8 则 o的半径为 ce的长是 易错提醒 利用圆周角定理找出相等的角 是解决该题关键的一步 规范解答 1 ab是 o的直径 ace 2 90 又 ce ab aec 90 即 a ace 90 2 a 3分又 c是的中点 1 a 1 2 4分 cf bf 5分 2 由题意得 acb 90 又 bc cd 6 ac 8 ab o的半径为5 6分由面积公式得 解得ce ce的长是 8分 规律总结 利用圆周角定理推论的两种思路1 见直径 通常构建90 的圆周角 利用直角三角形知识解决 2 见90 的圆周角 通常作直径 构建直角三角形 跟踪训练 4 2012 苏州中考 如图 已知bd是 o直径 点a c在 o上 aob 60 则 bdc的度数是 a 20 b 25 c 30 d 40 解析 选c 连结oc 因为同弧或等弧所对的圆心角相等 所以 aob boc 60 所以 d 30 变式训练 2011 无锡中考 如图 以原点o为圆心的圆交x轴于a b两点 交y轴的正半轴于点c d为第一象限内 o上的一点 若 dab 20 则 ocd 解析 连结do dab 20 dob 40 cod 90 40 50 co do ocd cdo ocd 180 50 2 65 答案 65 5 2012 达州中考 如图 o是 abc的外接圆 连结ob oc 若ob bc 则 bac等于 a 60 b 45 c 30 d 20 解析 选c 因为ob bc oc 所以 obc是等边三角形 则 boc 60 因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 所以 bac 30 故选c 6 2012 安顺中考 如图 在 o中 直径ab与弦cd相交于点p cab 40 apd 65 1 求 b的大小 2 已知ad 6 求圆心o到bd的距离 解析 1 apd c cab c 65 40 25 b c 25 2 作oe bd于e 则de be 又 ao bo oe 圆心o到bd的距离为3 1 2011 凉山州中考 如图 aob 100 点c在 o上 且点c不与a b重合 则 acb的度数为 a 50 b 80 或50 c 130 d 50 或130 解析 选d 利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半 求得圆周角的度数即可 注意点c可能在优弧上也可能在劣弧上 分两种情况讨论 当点c在优弧上时 当点c在劣弧上时 130 2 2012 万宁中考 如图所示 已知 o是 abc的外接圆 ad是 o的直径 连结cd 若ad 3 ac 2 则cosb的值为 解析 选b b和 d所对的弧是 根据同弧所对的圆周角相等 b d 又 ad是直径 acd 90 根据勾股定理 得 cosb cosd 3 如图 将三角板的直角顶点放在 的圆心上 两条直角边分别交 o于a b两点 点p在优弧ab上 且与点a b不重合 连结pa pb 则 apb的大小为 度 解析 aob为圆心角 其值为90 apb为同弧上的圆周角 其大小为 aob的一半 所以 apb 答案 45 4 如图 已知 ocb 20 则 a 度 解析 ob oc obc ocb 20 o 180 obc ocb 140 a 答案 70 5 如图 点p为等边 abc外接圆劣弧bc上一点 1 求 bpc的度数 2 求证 pa pb pc 3 设pa bc交于点m 若ab 4 pc 2 求cm的长度 解析 1 abc为等边三角形 bac 60 点p为等边 abc外接圆劣弧bc上一点 bpc bac 180 bpc 120 2 在pa上截取pd pc ab ac bc apb apc 60 pcd为等边三角