北京市2020年中考数学真题模拟题汇编 专题12 图形的性质之解答题（1）（含解析）

专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一解答题（共50小题）1（2019北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点a，b，c，如图所示，点o到点a，b，c的距离均等于a（a为常数），到点o的距离等于a的所有点组成图形g，abc的平分线交图形g于点d，连接ad，cd（1）求证：adcd；（2）过点d作deba，垂足为e，作dfbc，垂足为f，延长df交图形g于点m，连接cm若adcm，求直线de与图形g的公共点个数【答案】（1）证明：到点o的距离等于a的所有点组成图形g，图形g为abc的外接圆o，ad平分abc，abdcbd，adcd；（2）如图，adcm，adcd，cdcm，dmbc，bc垂直平分dm，bc为直径，bac90，odac，odab，deab，odde，de为o的切线，直线de与图形g的公共点个数为1【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定2（2019北京）已知aob30，h为射线oa上一定点，oh1，p为射线ob上一点，m为线段oh上一动点，连接pm，满足omp为钝角，以点p为中心，将线段pm顺时针旋转150，得到线段pn，连接on（1）依题意补全图1；（2）求证：ompopn；（3）点m关于点h的对称点为q，连接qp写出一个op的值，使得对于任意的点m总有onqp，并证明【答案】解：（1）如图1所示为所求（2）设opm，线段pm绕点p顺时针旋转150得到线段pnmpn150，pmpnopnmpnopm150aob30omp180aobopm18030150ompopn（3）op2时，总有onqp，证明如下：过点n作ncob于点c，过点p作pdoa于点d，如图2ncppdmpdq90aob30，op2pdop1odoh1dhohod1ompopn180omp180opn即pmdnpc在pdm与ncp中 pdmncp（aas）pdnc，dmcp设dmcpx，则ocop+pc2+x，mhmd+dhx+1点m关于点h的对称点为qhqmhx+1dqdh+hq1+x+12+xocdq在ocn与qdp中 ocnqdp（sas）onqp【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第（3）题的解题思路是以onqp为条件反推op的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以op2为条件构造全等证明onqp3（2019北京）在abc中，d，e分别是abc两边的中点，如果上的所有点都在abc的内部或边上，则称为abc的中内弧例如，图1中是abc的一条中内弧（1）如图2，在rtabc中，abac，d，e分别是ab，ac的中点，画出abc的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点a（0，2），b（0，0），c（4t，0）（t0），在abc中，d，e分别是ab，ac的中点若t，求abc的中内弧所在圆的圆心p的纵坐标的取值范围；若在abc中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心p在abc的内部或边上，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）如图2，以de为直径的半圆弧，就是abc的最长的中内弧，连接de，a90，abac，d，e分别是ab，ac的中点，bc4，debc42，弧2；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段de的垂直平分线上，连接de，作de垂直平分线fp，作egac交fp于g，当t时，c（2，0），d（0，1），e（1，1），f（，1），设p（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段de上方射线fp上均可，m1，oaoc，aoc90aco45，deocaedaco45作egac交直线fp于g，fgef根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点g的下方（含点g）直线fp上时也符合要求；m综上所述，m或m1如图4，设圆心p在ac上，p在de中垂线上，p为ae中点，作pmoc于m，则pm，p（t，），debcadeaob90ae，pdpe，aedpdeaed+daepde+adp90，daeadpappdpeae由三角形中内弧定义知，pdpmae，ae3，即3，解得：t，t00t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题4（2019北京）如图，在菱形abcd中，ac为对角线，点e，f分别在ab，ad上，bedf，连接ef（1）求证：acef；（2）延长ef交cd的延长线于点g，连接bd交ac于点o若bd4，tang，求ao的长【答案】（1）证明：连接bd，如图1所示：四边形abcd是菱形，abad，acbd，obod，bedf，ab：bead：df，efbd，acef；（2）解：如图2所示：由（1）得：efbd，gado，tangtanado，oaod，bd4，od2，oa1【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键5（2019怀柔区二模）在平面直角坐标系xoy中，对于两个点a，b和图形，如果在图形上存在点p，q（p，q可以重合），使得ap2bq，那么称点a与点b是图形的一对“倍点”已知o的半径为1，点b（0，3）（1）点b到o的最大值，最小值；在a1（5，0），a2（0，10），a3（，）这三个点中，与点b是o的一对“倍点”的是a1；（2）在直线yx+b上存在点a与点b是o的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形mnst的顶点m（m，1），n（m+1，1），若正方形上的所有点与点b都是o的一对“倍点”，直接写出m的取值范围【答案】解：（1）点b到o的最大值是bo+r3+14；点b到o的最小值是bor312；a1到圆o的最大值6，最小值4；a2到圆o的最大值11，最小值9；a3到圆o的最大值3，最小值1；点b到o的最大值是4，最小值是2；在圆o上存在点p，q，使得ap2bq，则a1与b是o的一对“倍点”，故答案为a1；（2）点b到o的最大值是4，最小值是242bq8，o到直线的最大距离是9，即od9，dco60，co6；（3）当m0时，s（m+1，0），t（m，0），则m+14，m3，s（m+1，2），t（m，2），则os9，9，m1；3m1；当m0时，s（m+1，0），t（m，0），则m4，s（m+1，2），t（m，2），则ot9，9，m，m4；综上所述：3m1或m4；【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键6（2019东城区二模）对于平面直角坐标系xoy中的图形p和直线ab，给出如下定义：m为图形p上任意一点，n为直线ab上任意一点，如果m，n两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形p和直线ab之间的“确定距离”，记作d（p，直线ab）已知a（2，0），b（0，2）（1）求d（点o，直线ab）；（2）t的圆心为t（t，0），半径为1，若d（t，直线ab）1，直接写出t的取值范围；（3）记函数ykx，（1x1，k0）的图象为图形q若d（q，直线ab）1，直接写出k的值【答案】解：（1）如图1中，作ohab于ha（2，0），b（0，2），oaob2，ab2，oaobaboh，oh，d（点o，直线ab）；（2）如图2中，作thab于h，交t于d当d（t，直线ab）1时，dh1，th2，at2，ot22，t（22，0），根据对称性可知，当t在直线ab的右边，满足d（t，直线ab）1时，t（2+2，0），满足条件的t的值为22t（3）如图3中，当直线经过点d（2，0）与直线ab平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为yx+2，当直线ykx经过e（1，1）时，k1，当直线ykx经过f（1，3），k3，综上所述，满足条件的k的值为3或1【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形p和直线ab之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（2019朝阳区二模）mon45，点p在射线om上，点a，b在射线on上（点b与点o在点a的两侧），且ab1，以点p为旋转中心，将线段ab逆时针旋转90，得到线段cd（点c与点a对应，点d与点b对应）（1）如图，若oa1，op，依题意补全图形；（2）若op，当线段ab在射线on上运动时，线段cd与射线om有公共点，求oa的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆若oa1，当点p在射线om上运动时，以射线om上一点q为圆心作线段cd的覆盖圆，直接写出当线段cd的覆盖圆的直径取得最小值时op和oq的长度【答案】解：（1）oa1，op，mon45，paoa，pa1ocoa，pc1由旋转性质可知：pccd，cdab1，d正好落在om上补全图形，如图1所示（2）如图2，作peom交on于点e，作efon交om于点fop，mon45，oe2由题意可知，当线段ab在射线on上从左向右平移时，线段cd在射线ef上从下向上平移，且oaec如图2，当点d与点f重合时，oa取得最小值为1如图3，当点c与点f重合时，oa取得最大值为2综上所述，oa的取值范围是1oa2（3）如图4作peom交on于点e，作efon交om于点q当线段cd的覆盖圆的直径取得最小值时直径为cd1，q在cd的中点，qc由（2）可知ceoa1，qe，mon45，op，oq【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到oace，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型8（2019海淀区二模）对于平面直角坐标系xoy中的两个图形m和n，给出如下定义：若在图形m上存在一点a，图形n上存在两点b，c，使得abc是以bc为斜边且bc2的等腰直角三角形，则称图形m与图形n具有关系（m，n）（1）若图形x为一个点，图形y为直线yx，图形x与图形y具有关系（x，y），则点，p2（1，1），p3（2，2）中可以是图形x的是p1；（2）已知点p（2，0），点q（0，2），记线段pq为图形x当图形y为直线yx时，判断图形x与图形y是否既具有关系（x，y）又具有关系（y，x），如果是，请分别求出图形x与图形y中所有点a的坐标；如果不是，请说明理由；当图形y为以t（t，0）为圆心，为半径的t时，若图形x与图形y具有关系（x，y），求t的取值范围【答案】解：（1）p1；如图1，过p1作p1iy轴交直线yx于点c1，作p1b1x轴于b1（b1与o重合），p1（0，），p1o，将y代入yx中，得xc1（，），即：c1p1b1p12p1（0，）与图形y（直线yx）具有关系（x，y）；p2（1，1）在直线yx上，p2（1，1）与图形y（直线yx）不具有关系（x，y）；p3（2，2）b3（2，2），c3（2，2），b3c342p3（2，2）与图形y（直线yx）不具有关系（x，y）；故答案为p1（0，）（2）是，如图2，在直线yx上取点b，c，且bc2，则满足abc是以bc为斜边的等腰直角三角形的点a，在到直线yx距离为1的两条平行直线上这两条平行直线与pq分别交于a1，a2两点故图形x与图形y满足（x，y）直线yx与线段pq交于点m（1，1），过点m作mhy轴于h，与a1b交于点n，则ma11，可得a1（，）同理可求得a2（，）如图3，在线段pq上取点b，c，且bc2，则满足abc是以bc为斜边的等腰直角三角形的点a在图中的两条线段上，这两条线段与直线yx交于a3，a4两点故图形x与图形y满足（y，x）同上可求得a3（，），a4（，）如图3，当qb1c1为等腰直角三角形，且斜边b1c12时，连接qt1交b1c1于s，则qsb1sc1s1，b1t1，t1s2，t1q2+13t1ot1（，0），同理可求得：t2（1，0），t3（2，0），t4（5，0），或【点睛】本题是一道新定义的圆综合题，考查了等腰直角三角形的性质，圆的性质等，关键是要理解新定义，并能够运用新定义解决问题9（2019丰台区一模）对于平面直角坐标系xoy中的点p和图形g，给出如下定义：若在图形g上存在两个点a，b，使得以p，a，b为顶点的三角形为等边三角形，则称p为图形g的“等边依附点”（1）已知m（3，），n（3，）在点c（2，2），d（0，1），e（1，）中，是线段mn的“等边依附点”的是d，e；点p（m，0）在x轴上运动，若p为线段mn的“等边依附点”，求点p的横坐标m的取值范围；（2）已知o的半径为1，若o上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围【答案】解：（1）d，e；如图1，过点c作cdmn于d，连接cm，过点e作efmn于f，连接en，em，dm，dn，tancmd2tan60，cmd60，点c不是线段mn的“等边依附点”；tandmntandnm，dmndnm60d是线段mn的“等边依附点”；tanenf，tanemnenf60，emn60e是线段mn的“等边依附点”；故答案为d，e在图1中，分别在线段mn上方作nmqmnp60，角的一条边与mn重合，另一边分别与x轴交于q，p，作qdmn于d，tan60，即：，解得：md1q（2，0）同理，可得p（2，0）点p的横坐标m的取值范围为：2m2；（2）如图2，abc是等边三角形，点o为ab的中点，o与ac、bc分别相切于p、q，abc是等边三角形bacabc60连接co，op，oq，则ocab，opac，oqbcsin60，sin60；opoq1oaobab的最小值为，【点睛】本题是有关圆的一道综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，等边三角形的性质等，解题的关键是正确理解新定义：图形g的“等边依附点”；并能够结合定义画出图形10（2019房山区二模）如图，在abc中，acb90，b4bac延长bc到点d，使cdcb，连接ad，过点d作deab于点e，交ac于点f（1）依题意补全图形；（2）求证：b2bad；（3）用等式表示线段ea，eb和db之间的数量关系，并证明【答案】解：（1）补全图形如图：（2）证明：acb90，cdcb，adabbad2bacb4bac，b2bad（3）eaeb+db，证明：在ea上截取egeb，连接dgdeab，dgdbdgbbb2bad，dgb2baddgbbad+adg，badadggagdgadbeaeg+ageb+db【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识11（2019通州区三模）如图，已知线段ab6cm，过点b做射线bf且满足abf40，点c为线段ab中点，点p为射线bf上的动点，连接pa，过点b作pa的平行线交射线pc于点d，设pb的长度为xcm，pd的长度为y1cm，bd的长度为y2cm（当点p与点b重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x （0x6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm6.04.73.94.15.16.68.4y2/cm6.05.34.74.23.94.1（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当pdb为等腰三角形时，则bp的长度约为3.1或3.9cm；（4）当x6时，是否存在x的值使得pdb为等腰三角形否（填“是”或者“否”）【答案】解：（1）由画图可得，x4时，bdy23.9（2）如图所示，（3）由y1与y2的交点的横坐标可知，x3.1cm时，pdbd，由直线yx与y2的交点的横坐标可知，x3.9cm时，pbbd，观察图象可知，pb不可能等于pd，故答案为3.1或3.9（4）观察图象可知，x6时，pdb不可能为等腰三角形故答案为否【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型12（2019石景山区二模）如图，在rtabc中，c90，点o在边ac上，o与边ac相交于点d、与边ab相切于点e，过点d作dpbc交ab于点p（1）求证：pdpe；（2）连接cp，若点e是ap的中点，od：dc2：1，cp13，求o的半径【答案】（1）证明：dpbc，c90，adpc90pdodpd是o的切线，pe是o的切线，pdpe；（2）解：连接oe，de点e是ap的中点，deepeapdpe，pdpededep是等边三角形，apd60，a30pe与o切点e，aeo90od：dc2：1，设dcx，则od2x在rtaoe中，tana则oeod2x，则aepd2x在rtcpd中，dc2+pd2cp2，x2+（2x）2132，解得xo的半径为2【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，直角三角形斜边中线的性质，直角三角函数等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键13（2019丰台区二模）如图1，m是圆中上一定点，p是弦ab上一动点，过点a作射线mp的垂线交圆于点c，连接pc已知ab5cm，设a、p两点间的距离为xcm，a、c两点间的距离为y1cm，p、c两点的距离为y2cm小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值；x/cm012345y1/cm2.553.153.954.764.954.30y2/cm2.552.642.672.111.132.55（2）在同一平面直角坐标系xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点p的运动过程中，当ac与pc的差为最大值时，ap的长度约为4cm【答案】解：（1）经测量得：当x3时，y22.11；（2）用描点法，描绘如下图象，（3）从图象可以看出，当x4时，ac与pc的差为最大值，故答案为4【点睛】本题为圆的综合运用题，主要考查的是描点作图，根据图象，确定题设已知条件，从图中观察、测量出求解得结论，一般难度不大14（2019西城区二模）对于平面内的man及其内部的一点p，设点p到直线am，an的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点p关于man的“偏率”在平面直角坐标系xoy中，（1）点m，n分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点若点p的坐标为（1，5），则点p关于mon的“偏率”为5；若第一象限内点q（a，b）关于mon的“偏率”为1，则a，b满足的关系为ab；（2）已知点a（4，0），b（2，2），连接ob，ab，点c是线段ab上一动点（点c不与点a，b重合）若点c关于aob的“偏率”为2，求点c的坐标；（3）点e，f分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点t的坐标为（t，4），t是以点t为圆心，半径为1的圆若t上的所有点都在第一象限，且关于eof的“偏率”都大于，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）点m，n分别在x轴正半轴，y轴正半轴上点p（1，5）到om距离d15，到on距离d21点p关于mon的“偏率”为：5故答案为：5点q（a，b）在第一象限，到om距离d1b，到on距离d2a点q关于mon的“偏率”为：1或1ab故答案为：ab（2）过点c作cdoa于点d，chob于点h，如图1，cdachb90点a（4，0），b（2，2）oa4，ob4，ab4oaobaboab是等边三角形oaboba60cdachb90cdachb点c关于aob的“偏率”为22或2当2，则2caabdacacos60，cdcasin60odoada4c（，）当2，则2caabdacacos60，cdcasin60odoada4c（，）综上所述，点c的坐标为（，）或（，）（3）t（t，4）点t在直线y4上t上的所有点都在第一象限，且半径为1t与y轴相离t1设t上的点r坐标为（x，y）（x0，y0）点r关于eof的“偏率”都大于或若，则yx点r在直线yx的上方，即t在直线yx左侧且与其相离当t与直线yx相切于点i，如图2，设直线y4与y轴交于点g，与直线yx交于点jgtt，ogyj4，gjxjtanojgojg60ti1，tiojrttij中，sinojgtjtigtgjtj当t在直线yx左侧与其相离时，1t若，则yx点r在直线yx的下方，即t在直线yx右侧且与其相离当t与直线yx相切于点k，如图3，设直线y4与y轴交于点g，与直线yx交于点lglxlyl4tanolgkltojg30tk1，tkokrttkl中，sinkltlt2tk2gtgl+lt42当t在直线yx右侧与其相离时，t42综上所述，t的取值范围为1t或42【点睛】本题考查了新定义的理解，点到直线距离，平面直角坐标系点的特征，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊三角函数值的应用，圆的切线性质解题关键是新定义的理解和应用，根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题第（3）题问题转化到圆与直线相离后，先计算相切时t的值，再判断相离时t的范围15（2019平谷区二模）如图，点p是半圆o中 上一动点，连接ap，作apc45，交弦ab于点c已知ab6cm，设a，p两点间的距离为xcm，p，c两点间的距离为y1cm，a，c两点间的距离为y2cm（当点p与点a重合时，y1，y2的值为0）小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm01.212.09m2.992.820y2/cm00.871.572.202.833.616经测量m的值是2.7（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当acp为等腰三角形时，ap的长度约为4.2或2.3cm（保留一位小数）【答案】解：（1）经测量：m2.7；（2）通过描点，画出如下图象；（3）当acpc时，即：y1y2，从图象可以看出：x4.2；当appc时，画出函数：yx的图象，图象与y1的交点处x的为2.3；故：答案为4.2或2.3【点睛】本题为圆的综合题，主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可16（2019通州区三模）在平面直角坐标系xoy中，点p，q（两点可以重合）在x轴上，点p的横坐标为m，点q的横坐标为n，若平面内的点m的坐标为（n，|mn|），则称点m为p，q的跟随点（1）若m0，当n3时，p，q的跟随点的坐标为（3，3）；写出p，q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；记函数ykx1（1x1，k0）的图象为图形g，若图形g上不存在p，q的跟随点，求k的取值范围；（2）a的圆心为a（0，2），半径为1，若a上存在p，q的跟随点，直接写出m的取值范围【答案】解：（1）把m0，n3代入点p，q的跟随点的坐标（n，|mn|）（3，|03|）（3，3）故答案为：（3，3）；把m0代入p，q的跟随点的坐标（n，|mn|），当n0时，（n，n）；当n0时，（n，n）所以p，q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，n）；由可知，当m0时，p，q的跟随点在函数yx（x0）或 yx（x0）的图象上，且函数yx（x0）或 yx（x0）的图象上的每一个点都是p，q的跟随点令x1，则y1，图形g经过点（1，1）时，k2；令x1，则y1，图形g经过点（1，1）时，k2；由图可知，k的取值范围是2k0或0k2（2）因为a的圆心为a（0，2），半径为1，若a上存在p，q的跟随点，m的取值范围为：2m2或2m2【点睛】本题考查圆综合题、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题17（2019昌平区二模）如图，在abc中，c90，acbc，ab6cm，e是线段ab上一动点，d是bc的中点，过点c作射线cg，使cgab，连接ed，并延长ed交cg于点f，连接af设a，e两点间的距离为xcm，a，f两点间的距离为y1cm，e，f两点间的距离为y2cm小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm9.498.547.626.715.835.004.24y2/cm9.497.625.833.163.164.24（2）在同一平面直角坐标系xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当aef为等腰三角形时，ae的长度约为3.50或5或6cm【答案】解：（1）当x3时，点e是ab的中点，易证ecf是等腰直角三角形，efec34.24（2）函数图象如图所示：（3）由直线yx与两个函数图象的交点a，b，以及函数y1与函数y2的交点c的横坐标可知，当aef为等腰三角形时，ae的长度约为3.50或5或6故答案为：3.50或5或6【点睛】本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型18（2019昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点p作已知直线l的平行线”小明的作法如下：在直线l上取一点a，以点a为圆心，ap长为半径作弧，交直线l于点b；分别以p，b为圆心，以ap长为半径作弧，两弧相交于点q（与点a不重合）；作直线pq所以直线pq就是所求作的直线根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：abappqbq四边形abqp是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）pql【答案】解：（1）如图所示（2）：abappqbq四边形abqp是菱形（四边相等的四边形是菱形）pql故答案为：pq，bq，四边相等的四边形是菱形【点睛】本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型19（2019房山区二模）如图，在abc中，abc90，cab30，ab4.5cmd是线段ab上的一个动点，连接cd，过点d作cd的垂线交ca于点e设adxcm，ceycm（当点d与点a或点b重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.65.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xoy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当ce2ad时，ad的长度约为1.9cm（结果保留一位小数）【答案】解：（1）如图1，过e作efab于f，由表格可知：ac5.2，ab4.5，rtacb中，a30，bcac2.6，当x4时，即ad4，bd0.5，edc90，易得efddbc，设ef5a，fd26a，则ae10a，af5a，ad4，5a+26a4，a，yacae5.2105.24.0；x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.64.05.2故答案为：4.0；（2）如图2所示：（3）设efa，则ae2a，afa，如图，由（1）知：efddbc，即，ac2a+y5.2，当ce2ad时，y2x，则2a+2x5.2，a+x2.6，a2.6x，2.6（2.6x）（4.5x）x（2.6x），2.73x219.383x+27.0010，x15.2（舍），x21.9，答：ad的长度约为1.9cm；故答案为：1.9【点睛】此题是三角形与函数图象的综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，并与方程相结合，计算量比较大20（2019房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，mon，点a在射线om上，点b在mon内部，用直尺和圆规作点p，使点p同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a点p到a，b两点的距离相等；b点p到mon的两边的距离相等小明的作法是：连接ab，作线段ab的垂直平分线交ab于e，交on于f；作mon的平分线交ef于点p所以点p即为所求根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：ef垂直平分线段ab，点p在直线ef上，papbop平分mon，点p到mon的两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等（填推理的依据）所以点p即为所求【答案】（1）解：如图，（2）证明：ef垂直平分线段ab，点p在直线ef上，papbop平分mon，点p到mon的两边的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）所以点p即为所求故答案为pb；角平分线上的点到角两边的距离相等【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质21（2019昌平区二模）对于平面直角坐标系xoy中的图形m及以点c为圆心，1为半径的c，给出如下定义：p为图形m上任意一点，q为c上任意一点，如果p，q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形m到c的“圆距离”，记作d（mc）（1）点c在原点o时，记点a（4，3）为图形m，则d（mo）4；点b与点a关于x轴对称，记线段ab为图形m，则d（mo）3；记函数ykx+4（k0）的图象为图形m，且d（mo）1，直接写出k的取值范围；（2）点c坐标为（t，0）时，点a，b与（1）中相同，记aob为图形m，且d（mc）1，直接写出t的值【答案】解：（1）如图1，点a（4，3），则oa5，d（mo）aq514，故答案为4；如图1，由题意得：d（mo）pq413；如图1，过点o作op直线l于点p，直线l与y轴交于点d，则d（mo）pq，当pq2为临界点的情况，od4，pdo30，k，故k；（2）如图2，当点为角的顶点o（p）时，则pq1，则oc2，即：t2；如图3，当点p在射线oa时，tanaoc，则sinaoc，cpcq+pq1+12，toc；故：t2或【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，这种新定义类型的题目，通常按照题设的顺序，逐次求解，一般难度不大22（2019通州区三模）已知：如图，man90，线段a和线段b求作：矩形abcd，使得矩形abcd的两条边长分别等于线段a和线段b下面是小东设计的尺规作图过程作法：如图，以点a为圆心，b为半径作弧，交an于点b；以点a为圆心，a为半径作弧，交am于点d；分别以点b、点d为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于man内部的点c；分别连接bc，dc所以四边形abcd就是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：abcd；adbc；四边形abcd是平行四边形man90；四边形abcd是矩形（填依据有一个角为直角的平行四边形是矩形）【答案】解：（1）如图，四边形abcd为所求作；（2）完成下面的证明证明：abcd；adbc；四边形abcd是平行四边形man90；四边形abcd是矩形（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故答案为cd，bc；有一个角为直角的平行四边形是矩形【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了矩形的判定23（2019西城区二模）如图，ab是o的直径，ca与o相切于点a，且caba连接oc，过点a作adoc于点e，交o于点d，连接db（1）求证：acebad；（2）连接cb交o于点m，交ad于点n若ad4，求mn的长【答案】（1）证明：ab是o的直径，adb90，adoc，aec90，adbaec，ca是o的切线，cao90，acebad，在ace和bad中，acebad（aas）；（2）解：连接am，如图，adoc，ad4，aedead2，acebad，bdae2，cead4，在rrabd中，ab，在rtabc中，bc，cenbdn90，cnebnd，cenbdn，bnbc，ab是o的直径，amb90，即amcb，caba，cab90，bmbc，mnbmbn【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的垂径定理，圆的切线性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，中等难度，出现直径往往构造直径所对的圆周角24（2019昌平区二模）如图，在菱形abcd中，对角线ac、bd交于点o，过点a作aebc于点e，延长bc至f，使cfbe，连接df（1）求证：四边形aefd是矩形；（2）若bf8，df4，求cd的长【答案】（1）证明：在菱形abcd中，adbc且adbc，becf，bcef，adef，adef，四边形aefd是平行四边形，aebc，aef90，四边形aefd是矩形；（2）解：设bccdx，则cf8x在rtdcf中，x2（8x）2+42 ，x5，cd5【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键25（2019通州区三模）如图，在rtabc中，c90，ae是abc的角平分线ae的垂直平分线交ab于点o，以点o为圆心，oa为半径作o，交ab于点f（1）求证：bc是o的切线；（2）若ac2，tanb，求o的半径r的值【答案】（1）证明：连接oeae的垂直平分线交ab于点o，oaoe点e在o上，且12，ae是abc的角平分线，13，且点e在bc上23，oeac，c90，oebc90，bcoe于点eoe是o的半径，bc是o的切线；（2）解：在rtabc中，c90，ac2，