北京市西城区2020届高三数学下学期4月一模考试试题（PDF）.pdf

北京市西城区2 0 2 0年4月高三数学试卷 第1 页 共6页 西 城 区 高 三 统 一 测 试 数 学 2 0 2 0 4 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷1至2页 第 卷3至6页 共1 5 0分 考试时长1 2 0分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 选择题 共4 0分 一 选择题 本大题共1 0小题 每小题4分 共4 0分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 设集合a x x 3 b x x2 则a b a 0 b 2 3 c 0 2 3 d 3 2 若复数z 3 i 1 i 则 z a 2 2 b 2 5 c 1 0 d 2 0 3 下列函数中 值域为r且为奇函数的是 a y x 2 b y s i nx c y x x 3 d y 2 x 4 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a3 2 a1 a4 5 则s6 a 1 0 b 9 c 8 d 7 5 设a 2 1 b 4 1 则以线段a b为直径的圆的方程是 a x 3 2 y 2 2 b x 3 2 y 2 8 c x 3 2 y 2 2 d x 3 2 y 2 8 6 设a b c为非零实数 且a c b c 则 a a b c b a b c 2 c a b 2 c d 1 a 1 b 2 c 北京市西城区2 0 2 0年4月高三数学试卷 第2 页 共6页 7 某四棱锥的三视图如图所示 记s为此棱锥所有棱的长度的集合 则 a 2 2 s 且2 3 s b 2 2 s 且2 3 s c 2 2 s 且2 3 s d 2 2 s 且2 3 s 8 设a b为非零向量 则 a b a b 是 a与b共线 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 9 已知函数f x s i nx 1 2 s i nx 的部分图象如图所示 将此图象分别作以下变换 那么 变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 绕着x轴上一点旋转1 8 0 沿x轴正方向平移 以x轴为轴作轴对称 以x轴的某一条垂线为轴作轴对称 a b c d 1 0 设函数f x x 2 1 0 x 1 x 0 l gx x 0 若关于x的方程f x a a r 有四个实数 解xi i 1 2 3 4 其中x1 x2 x3 x4 则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是 a 0 1 0 1 b 0 9 9 c 0 1 0 0 d 0 北京市西城区2 0 2 0年4月高三数学试卷 第3 页 共6页 第 卷 非选择题 共1 1 0分 二 填空题 本大题共5小题 每小题5分 共2 5分 1 1 在 x 1 x 6 的展开式中 常数项为 用数字作答 1 2 若向量a x 2 2 b 1 x 满足a b0 的一条渐近线方程为y 2 2x 则该双曲线的离心率 为 1 4 函数f x s i n 2x 4 的最小正周期为 若函数f x 在区间 0 上单 调递增 则 的最大值为 1 5 在一次体育水平测试中 甲 乙两校均有1 0 0名学生参加 其中 甲校男生成绩的 优秀率为7 0 女生成绩的优秀率为5 0 乙校男生成绩的优秀率为6 0 女生 成绩的优秀率为4 0 对于此次测试 给出下列三个结论 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率 甲 乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲 乙两校所有女生成绩的优秀率 甲校学生成绩的优秀率与甲 乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定 其中 所有正确结论的序号是 北京市西城区2 0 2 0年4月高三数学试卷 第4 页 共6页 三 解答题 本大题共6小题 共8 5分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演 算步骤 1 6 本小题满分1 4分 如图 在四棱柱a b c d a1b1c1d1中 a a1 平面a b c d 底面a b c d满足 ad b c 且a b ad a a1 2 b d d c 2 2 求证 a b 平面add1a1 求直线a b与平面b1c d1所成角的正弦值 1 7 本小题满分1 4分 已知 a b c满足 且b 6 a 2 3 求s i nc的值及 a b c的面积 从 b 4 a 3 a 3 2 s i nb这三个条件中选一个 补充到上面问题中 并完成解答 注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分 北京市西城区2 0 2 0年4月高三数学试卷 第5 页 共6页 1 8 本小题满分1 4分 2 0 1 9年底 北京2 0 2 2年冬奥组委会启动志愿者全球招募 仅一个月内报名人数 便突破6 0万 其中青年学生约有5 0万人 现从这5 0万青年学生志愿者中 按男女分 层抽样随机选取2 0人进行英语水平测试 所得成绩 单位 分 统计结果用茎叶图记 录如下 试估计在这5 0万青年学生志愿者中 英语测试成绩在8 0分以上的女生人数 从选出的8名男生中随机抽取2人 记其中测试成绩在7 0分以上的人数为x 求 x的分布列和数学期望 为便于联络 现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 每组人数不少于5 0 0 0 并在每组中随机选取m个人作为联络员 要求每组的联络员中至少有1人的英语 测试成绩在7 0分以上的概率大于9 0 根据图表中数据 以频率作为概率 给出 m的最小值 结论不要求证明 1 9 本小题满分1 4分 设函数f x al nx x 2 a 2 x 其中a r 若曲线y f x 在点 2 f 2 处切线的倾斜角为 4 求a 的值 已知导函数 f x 在区间 1 e 上存在零点 证明 当x 1 e 时 f x e 2 北京市西城区2 0 2 0年4月高三数学试卷 第6 页 共6页 2 0 本小题满分1 5分 设椭圆e x 2 2 y 2 1 直线l 1经过点m m 0 直线l2经过点n n 0 直线l 1 直线l2 且直线l1 l2分别与椭圆e相交于a b两点和c d两点 若m n分别为椭圆e的左 右焦点 且直线l 1 x轴 求四边形a b c d的面积 若直线l 1的斜率存在且不为0 四边形a b c d为平行四边形 求证 m n 0 在 的条件下 判断四边形a b c d能否为矩形 说明理由 2 1 本小题满分1 4分 对于正整数n 如果k k n 个整数a 1 a2 ak满足1 a1 a2 ak n 且a1 a2 ak n 则称数组 a1 a2 ak 为n的一个 正整数分拆 记a1 a2 ak均为偶数的 正整数分拆 的个数为fn a1 a2 ak均为奇数的 正整 数分拆 的个数为gn 写出整数4的所有 正整数分拆 对于给定的整数n n 4 设