（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评六十七 条件概率与事件的独立性、正态分布 新人教B版

核心素养测评六十七 条件概率与事件的独立性、正态分布(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是()a.227 b.19 c.29 d.127【解析】选b.三次均为红球的概率为131313=127,三次均为黄、绿球的概率也为127,所以抽取3次颜色相同的概率为127+127+127=19.2.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件a,“摸得的两球同色”为事件b,则p(ba)=()a.110 b.15c.14d.25【解析】选c.因为pa=c21c51=25,pab=a22a52=110,所以pba=pabpa=11025=14.3.已知abcd为正方形,其内切圆i与各边分别切于e,f,g,h,连接ef,fg,gh,he.现向正方形abcd内随机抛掷一粒豆子,记事件a:豆子落在圆i内,事件b:豆子落在四边形efgh外,则p(b|a)=()a.1-4b.4c.1-2d.2【解析】选c.设正方形abcd的边长为2,则内切圆的半径为1,正方形efgh的边长为2,所以 pa=22=4,pab=-24,所以pba=pabpa=-244=1-2.4.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是() a.18 b.38 c.14 d.78【解析】选b.设开关a,b,c闭合的事件分别为a,b,c,则灯亮这一事件e=(abc)(abc)(abc),且a,b,c相互独立,abc,abc,abc互斥,所以p(e)=p(abc)+p(abc)+p(abc)=p(a)p(b)p(c)+p(a)p(b)p(c)+p(a)p(b)p(c)=121212+12121-12+121-1212=38.5. 甲射击命中目标的概率是12,乙命中目标的概率是13,丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为() a.34b.23c.45d.710【解析】选a.设甲命中目标为事件a,乙命中目标为事件b,丙命中目标为事件c,则击中目标表示事件a,b,c中至少有一个发生.又p(abc)=p(a)p(b)p(c)=1-p(a)1-p(b)1-p(c)=1-121-131-14=14.所以击中的概率p=1-p(abc)=34.6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp1516,则n的最小值为()a.4b.5c.6d.7【解析】选a.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp1516,所以p=1-12n1516,所以12n116.所以n的最小值为4.7.已知随机变量x服从二项分布xb6,13,则p(x=2)等于()a.1316b.4243c.13243d.80243【解析】选d.因为随机变量x服从二项分布xb6,13,所以 p(x=2)=c621321-134=80243.二、填空题(每小题5分,共15分)8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为_.【解析】设甲击中目标记为事件a,乙击中目标记为事件b,则p(ab)=0.60.3=0.18, p(ab)=0.40.7=0.28,p(ab)=0.40.3=0.12,所以甲、乙至多一人击中目标的概率为0.18+0.28+0.12=0.58.答案:0.589.将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_.【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,所求概率p=c64126+c65126+c66126=1132.答案:113210.甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为pp12,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.则p的值为_,设表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量的分布列为_.【解析】依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(1-p)2=59.解得p=23或p=13.因为p12,所以p=23.依题意知,的所有可能值为2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有p(=2)=59,p(=4)=1-5959=2081, p(=6)=1-591-591=1681.所以随机变量的分布列为:246p5920811681答案:23246p5920811681 (15分钟35分)1.(5分)质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为()a.1753b.5370c.1105d.3140【解析】选a.设事件a表示“2件合格,2件不合格”;事件b表示“3件合格,1件不合格”;事件c表示“4件全合格”,事件d表示“检测通过”,事件e表示“检测良好”,则p(d)=p(a)+p(b)+p(c)=c42c42c84+c43c41c84+c44c84=5370.所以p(e|d)=p(ed)p(d)=p(b)+p(c)p(d)=c43c41c84+c44c845370=1753.2.(5分)一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件a为“取出的两个球颜色不同”,事件b为“取出一个黄球,一个绿球”,则p(b|a)=()a.1247 b.211c.2047d.1547【解析】选d. 因为pa=54+53+43c122=4766,pab=53c122=1566,所以pba=pabpa=15664766=1547.【变式备选】袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是17,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率是()a.37b.635c.135 d.2235【解析】选d.设白球有n个,cn2c72=17,n=3,所以p(甲取到白球)=37+473635+47362514=2235.3.(5分)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:他第3次击中目标的概率是0.9;他恰好击中目标3次的概率是0.930.1;他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是_.【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以第3次击中目标的概率是0.9,所以正确,因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以本题是一个独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是c430.930.1,所以不正确,因为至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14.所以正确.答案:4.(10分)一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内.(1)恰有一套设备能正常工作的概率;(2)能进行通讯的概率.【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件a,“第二套通讯设备能正常工作”为事件b.由题意知p(a)=p3,p(b)=p3,p(a)=1-p3,p(b)=1-p3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为p(ab+ab)=p(ab)+p(ab)=p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6.(2)两套设备都不能正常工作的概率为p( ab )=p(a)p(b)=(1-p3)2.至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为1-p(ab)=1-p(a)p(b)=1-(1-p3)2=2p3-p6.【变式备选】甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)p2的值;(2)pn(用n表示)的值.【解析】(1)经过一次传球后,落在乙丙丁手中的概率分別为13,而落在甲手中概率为0,因此p1= 0,两次传球后球落在甲手中的概率为p2= 1313+1313+1313=13.(2)要想经过n次传球后球落在甲的手中,那么在n-1次传球后球一定不在甲手中,所以pn=13(1-pn-1), n=2,3,4,因此p3=13(1-p2)=1323=29 ,p4=13(1-p3)=1379=727 ,p5=13(1-p4)=132027=2081 ,p6=13(1-p5)=136181=61243 , 因为pn=13(1-pn-1) ,所以pn-14=-13pn-1-14,pn-14=p1-14(-13)n-1,所以pn=14-14(-13)n-1.5.(10分)(2020太原模拟)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2020年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入x(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入x服从正态分布n(,2),其中近似为年平均收入x,2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:(i)在2020年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附:参考数据与公式6.922.63,xn(,2)则p(-x+)=0.682 7;p(-2x+2)=0.954 5;p(-3-)=12+0.682 720.841 4,所以-=17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.(ii)由p(x12.14)=p(x-2)=0.5+0.954 520.977 3,得每位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.977