（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评十五 导数与不等式 新人教B版

核心素养测评十五 导数与不等式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.对于x0,+),则ex与1+x的大小关系为()a.ex1+xb.ex1+xc.ex=1+xd.ex与1+x大小关系不确定【解析】选a.令f(x)=ex-(1+x),因为f(x)=ex-1,所以对x0,+),f(x)0,故f(x)在0,+)上递增,故f(x)f(0)=0,即ex1+x.2.(2020长沙模拟)已知函数f(x)=-x3-3x+2sin x,设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则()a.f(b)f(a)f(c)b.f(b)f(c)f(a)c.f(c)f(b)f(a)d.f(a)f(b)f(c)【解析】选d.根据函数性质可得120.32;00.321;-2log20.3-1;故可判断出cba.又f(x)=-3x2-3+2cos x,其中-3x2-3-3恒成立,而cos x-1,1也是恒成立,故f(x)0恒成立,即函数f(x)是单调递减的,由cbf(b)f(a).3.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,br)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是()a.ln ab-1b.ln a0),则ga=1a-3=1-3aa,令ga0,解得0a13,令ga13,故g(a)在0,13上单调递增,在13,+上单调递减,故g(a)max=g13=1-ln 30,故ln ab-1.4.(多选)已知函数fx=xln x,若0x1x2,则下列结论正确的是()a.x2fx1x1fx2b.x1+fx1x2+fx2c.fx1-fx2x1-x2-1时,x1fx1+x2fx22x2fx1【解析】选ad.设g(x)=f(x)x=ln x,函数单调递增,则g(x2)g(x1),即f(x2)x2f(x1)x1所以x1f(x2)x2f(x1),a正确;设h(x)=f(x)+x所以h(x)=ln x+2不是恒大于零,b错误;因为fx=xln x,所以fx=ln x+1不是恒小于零,c错误;当ln x-1时,fx=ln x+10,函数单调递增,故x2-x1f(x2)-f(x1)=x1fx1+x2fx2-x2fx1-x1f(x2)0,即x1fx1+x2fx2x2fx1+x1f(x2),f(x2)x2=ln x2f(x1)x1=ln x1所以x1f(x2)x2f(x1) 即x1fx1+x2fx22x2fx1,d正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.(2020潮州模拟)设函数f(x)=ex+e-x+x2,则使f(2x)f(x+1)成立的x的取值范围是_.【解析】根据题意,函数f(x)=ex+e-x+x2,则f(-x)=e-x+ex+(-x)2=ex+e-x+x2=f(x),即函数f(x)为偶函数,又f(x)=(ex)+-(ex)(ex)2+(x2)=ex-e-x+2x.当x0时,有f(x)0,即函数f(x)在0,+)上为增函数,f(2x)f(x+1)f(|2x|)f(|x+1|)|2x|x+1|,解得x1,即x的取值范围为-,-13(1,+).答案:-,-13(1,+)6.(2020深圳模拟)函数f(x)=x-2sin x,对任意的x1,x20,恒有|f(x1)-f(x2)|m,则m的最小值为_.【解析】因为f(x)=x-2sin x,所以f(x)=1-2cos x,所以当0x3时,f(x)0,f(x)单调递减;当3x0,f(x)单调递增.所以当x=3时,f(x)有极小值,即最小值,且f(x)min=f3=3-2sin 3=3-3.又f(0)=0,f()=,所以f(x)max=.由题意得|f(x1)-f(x2)|m恒成立等价于m|f(x)max-f(x)min|=-3-3=23+3.所以m的最小值为23+3.答案:23+37.设a0,函数f(x)=x+a2x,g(x)=x-ln x,若对任意的x1,x21,e,都有f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围为_.【解析】因为g(x)=x-ln x,x1,e,所以有g(x)=1-1x0,函数g(x)单调递增,则g(x)max=g(e)=e-1.因为f(x)=x+a2x,所以f(x)=x2-a2x2.令f(x)=0,因为a0,所以x=a.当0aae-2.当1ae时,f(x)min=f(a)=2ae-1恒成立.当ae时,f(x)在1,e上单调递减,f(x)min=f(e)=e2+a2ee-1恒成立.综上,ae-2.答案:e-2,+)8.(2020烟台模拟)已知函数fx=13x3-ex2+ax,gx=lnxx,对于任意的x112,e,存在x212,e,使fx1gx2,则实数a的取值范围为_;若不等式fx+16x3xgx有且仅有一个整数解,则实数a的取值范围为_.【解析】由题意得f(x)maxg(x)max,x12,e.由fx=13x3-ex2+ax,可得fx=x2-2ex+a=(x-e)2+a-e2,所以f(x)max=f12=14-e+a.由gx=lnxx,可得g(x)=1-lnxx2,则g(x)在12,e上单调递增,所以g(x)max=g(e)=1e.所以14-e+a1e,解得ae+1e-14.由fx+16x3xgx,可得13x3-ex2+ax+16x30,所以alnxx+ex-12x2.设h(x)=lnxx+ex-12x2,则h(x)=1-lnxx2+e-x,显然h(e)=0,当0x0,h(x)单调递增;当xe时,h(x)0,则h(3)h(2).又h(4)=4e-8+ln44,h(4)-h(2)=2e-60,则h(4)h(2).综上所述,当h(2)ah(3)时,alnxx+ex-12x2有且仅有一个整数解,即当2e-2+ln22a3e-92+ln33时,fx+16x3ae,证明abba.【解析】由题意可知,函数f(x)=ln x-ax的定义域为(0,+)且f(x)=1x-a.(1)当a=1时,f(x)=1x-1=1-xx,若f(x)0,则0x1;若f(x)1,所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,(1,+)上单调递减.(2)若f(x)0恒成立,则ln x-ax0恒成立,又因为x(0,+),所以分离变量得alnxx恒成立,设g(x)=lnxx,则ag(x)max,所以g(x)=1-lnxx2,当g(x)0时,x(0,e),即函数g(x)=lnxx在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减.当x=e时,函数g(x)=lnxx取最大值,g(x)max=g(e)=1e,所以a1e.(3)欲证abba,两边取对数,只需证明ln abln ba,即证bln aaln b,即证lnaalnbb,由(2)可知g(x)=lnxx在(e,+)上单调递减,且bae,所以g(a)g(b),命题得证.10.已知函数f(x)=ln x+12x2-(m+1)x+m+12.(1)设x=2是函数f(x)的极值点,求m的值,并求f(x)的单调区间.(2)若对任意的x(1,+),f(x)0恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=ln x+12x2-(m+1)x+m+12(x0),f(x)=x+1x-m-1.因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f(2)=2+12-m-1=0,故m=32.令f(x)=x+1x-52=2x2-5x+22x0,解得0x2.令f(x)0,则12x0,则f(x)在(