（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系、点到直线的距离练习 新人教B版

9.2 两条直线的位置关系、点到直线的距离核心考点精准研析考点一两直线的位置关系1.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1l2”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件2.(2020济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件3.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,则当l1l2时,a的值为_.4.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+ay+a2-1=0,则当l1l2时, a的值为_.【解析】1.选c.由l1l2得-m(m-1)=1(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1l2”的充要条件.2.选a.由l1l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.3.当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线方程可化为l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),由l1l2可得-a2=11-a,-3-(a+1), 解得a=-1.综上可知,a=-1.答案:-1【一题多解】由l1l2知a1b2-a2b1=0,a1c2-a2c10, 即a(a-1)-12=0,a(a2-1)-160a2-a-2=0,a(a2-1)6a=-1.答案:-14.方法一:当a=0时,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;当a0时,l1:y=-a2x-3,l2:y=-1ax-a2-1a,由l1l2,得-a2-1a=12-1,所以此时不成立.方法二:因为l1l2,所以a1a2+b1b2=0,即a+2a=0,得a=0.答案:01.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二两条直线的相交、距离问题【典例】1.(2020北京模拟)已知点m(0,-1),点n在直线x-y+1=0上,若直线mn垂直于直线x+2y-3=0, 则点n的坐标是()a.(-2,-1)b.(2,3)c.(2,1)d.(-2,1)2.(2020广州模拟)已知点p(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是_.3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c的值是_.【解题导思】序号联想解题1由n为直线mn和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.2由点p到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.3由题意联想到两平行线间距离公式.【解析】1.选b.因为点n在直线x-y+1=0上,所以可设点n坐标为(x0,x0+1).根据经过两点的直线的斜率公式,得kmn=(x0+1)+1x0=x0+2x0.因为直线mn垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-12,所以kmn-12=-1,即x0+2x0=2,解得x0=2.因此点n的坐标是(2,3).2.由题意得,点p到直线4x-3y-1=0的距离为|44-3a-1|5=|15-3a|5.又|15-3a|53,即|15-3a|15,解之得0a10,所以a的取值范围是0,10.答案:0,103.依题意知,63=a-2c-1,解得a=-4,c-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0,又两平行线之间的距离为21313,所以c2+132+(-2)2=21313,解得c=2或-6.答案:2或-61.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.3.利用距离公式应注意(1)点p(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.1.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为_.2.直线l过点p(-1,2)且到点a(2,3)和点b(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为_.【解析】1.由x+y-4=0,x-y+2=0,得x=1,y=3,所以l1与l2的交点坐标为(1,3).设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+23+c=0,所以c=-7.所以所求直线方程为x+2y-7=0.答案:x+2y-7=02.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-13,所以直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.方法二:当abl时,有k=kab=-13,直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当l过ab中点时,ab的中点为(-1,4),所以直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.答案:x+3y-5=0或x=-1考点三对称问题命题精解读考什么:(1)两直线的垂直关系(2)中点坐标公式.怎么考:1.直接求对称点或直线;2.求解折线最短问题;3.求三角形的角平分线的方程.新趋势:1.折线最短问题;2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.学霸好方法两种对称问题的处理方法(1)点关于直线的对称:若两点p1 (x1,y1)与p2(x2,y2)关于直线l:ax+by+c=0对称,则线段p1p2的中点在l上,而且连接p1p2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点p1关于l对称的点p2的坐标(x2,y2)(其中b0,x1x2).(2)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.点关于点的对称【典例】过点p(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点p平分,则直线l的方程为_.【解析】设l1与l的交点为a(a,8-2a),则由题意知,点a关于点p的对称点b(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点a(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0点p与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?提示:点p是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.点关于直线的对称【典例】(2020淮安模拟)已知入射光线经过点m(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点n(2,6),则反射光线所在直线的方程为_.【解析】设点m(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为m(a,b),则反射光线所在直线过点m,所以b-4a-(-3)1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0.又反射光线经过点n(2,6).所求直线的方程为y-06-0=x-12-1,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=0点m和它的对称点m的连线段mm与直线l有什么关系?提示:垂直直线关于直线对称【典例】(2019郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是()a.x-2y+3=0b.x-2y-3=0c.x+2y+1=0d.x+2y-1=0【解析】选a.设所求直线上任意一点p(x,y),则p关于x-y+2=0的对称点为p(x0,y0),因为pp的中点在直线x-y+2=0上,又因为kpp1=-1,所以由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-y+y0,得x0=y-2,y0=x+2,由点p(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.1.(2020岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()a.x+2y-1=0b.2x+y-1=0c.2x+y-3=0d.x+2y-3=0【解析】选d.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案a或d,再根据两直线交点在直线x=1上知选d.2.已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点p(4,5)关于l的对称点.(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.(3)直线l关于(1,2)的对称直线.【解析】(1)设p(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为p(x,y),因为kppkl=-1,即y-yx-x3=-1.又pp的中点在直线3x-y+3=0上,所以3x+x2-y+y2+3=0.由得x=-4x+3y-95,y=3x+4y+35.把x=4,y=5代入得x=-2,y=7,所以点p(4,5)关于直线l的对称点p的坐标为(-2,7).(2)用(1)中的分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,化简得7x+y+22=0.(3)在直线l:3x-y+3=0上取点m(0,3),关于(1,2)的对称点m(x,y),所以x+02=1,x=2,y+32=2,y=1,所以m(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.已知直线l:x-2y+8=0和两点a(2,0),b(-2,-4)