（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第七章 数列 7.2 等差数列练习 新人教B版

7.2 等差数列核心考点精准研析考点一等差数列的基本运算1.在等差数列an中,a1+a5=8,a4=7,则a5=()a.11b.10c.7d.32.已知an是公差为1的等差数列,sn为an的前n项和,若s8=4s4,则a10=()a.172b.192c.10d.123.(2020沈阳模拟)在等差数列an中,若sn为前n项和,2a7=a8+5,则s11的值是()a.55b.11c.50d.604.(2019全国卷)记sn为等差数列an的前n项和.已知s4=0,a5=5,则()a.an=2n-5b.an=3n-10c.sn=2n2-8nd.sn=12n2-2n5.设等差数列an的前n项和为sn,若sm-1=-2,sm=0,sm+1=3,则m=_.【解析】1.选b.设等差数列an的公差为d,则有2a1+4d=8,a1+3d=7,解得a1=-2,d=3,所以a5=-2+43=10.2.选b.由公差为1得s8=8a1+8(8-1)21=8a1+28,s4=4a1+6.因为s8=4s4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=12,所以a10=a1+9d=12+9=192.3.选a.设等差数列an的公差为d,由题意可得2(a1+6d)=a1+7d+5,得a1+5d=5,则s11=11a1+11102d=11(a1+5d)=115=55.4.选a.设该等差数列an的公差为d,由题知,s4=4a1+d243=0,a5=a1+4d=5,解得a1=-3,d=2,所以an=2n-5.5.由sm-1=-2,sm=0,sm+1=3得am=sm-sm-1=2,am+1=sm+1-sm=3,所以等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1,由am=a1+(m-1)d=2,sm=a1m+12m(m-1)d=0得a1+m-1=2,a1m+12m(m-1)=0,解得a1=-2,m=5.答案:5第3题中若将条件“2a7=a8+5”改为“a9=12a12+6”,其他条件不变,则数列an的前11项和s11等于_.【解析】s11=11(a1+a11)2=11a6,设公差为d,由a9=12a12+6得a6+3d=12(a6+6d)+6,解得a6=12,所以s11=1112=132.答案:132等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.【秒杀绝招】1.应用性质解t1 由等差数列的性质得a1+a5=2a3=8,所以a3=4,故d=a4-a3=3.所以 a5=a4+d=10.2.应用变形公式解t3设等差数列an的公差为d,由2a7=a8+5,得2(a6+d)=a6+2d+5,得a6=5,所以s11=11a6=55.3.应用排除法解t4 对于b,a5=5,s4=4(-7+2)2=-100,排除b,对于c,s4=0,a5=s5-s4=252-85-0=105,排除c.对于d,s4=0,a5=s5-s4=1252-25-0=2.55,排除d,故选a.考点二等差数列的判定与证明【典例】1.已知数列an满足a1=-23，an+1=-2an-33an+4(nn*).(1)证明：数列1an+1是等差数列；(2)求an的通项公式.【解题导思】序号题目拆解(1)an+1=-2an-33an+4先凑an+1+1产生an+1+1an+1+1取倒数产生1an+1+1-1an+1=常数(2)数列1an+1是等差数列由(1)写出1an+1的通项公式，求出an的通项公式【解析】(1)因为an+1+1=-2an-33an+4+1=an+13an+4，所以1an+1+1=3an+4an+1=3+1an+1，所以1an+1+1-1an+1=3，所以1an+1是首项为1a1+1=3，公差为3的等差数列.(2)由(1)得1an+1=3n，所以an=13n-1.2.数列an满足a1=1,an+1=(n2+n-)an(nn*),(1)当a2= -1时,求的值及a3的值;(2)是否存在,使数列an为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由.【解题导思】序号联想解题(1)看到an+1=(n2+n-)an,想到数列的递推公式(2)看到an+1=(n2+n-)an,结合(1)想到若数列an为等差数列,可求,结合等差数列的定义判断【解析】(1)因为an+1=(n2+n-)an,a1=1, a2=-1,所以-1=(2-)1,解得=3.所以a3=(22+2-3)(-1)=-3.(2)不存在,使数列an为等差数列,说明如下:因为a1=1,an+1=(n2+n-)an(nn*).所以,a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-),若存在实数,使数列an为等差数列.则a1+a3=2a2,即1+(6-)(2-)=2(2-),解得:=3.此时a2=2-=2-3=-1,a3=(6-)(2-)=-3,a4=(12-)(6-)(2-)=-27,a2-a1=-1-1=-2,而a4-a3=-24.所以,数列an不是等差数列,即不存在使数列an为等差数列.1.判断数列an是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意nn*,an+1-an是同一常数.(2)等差中项法:对任意n2,nn*,满足2an=an+1+an-1.(3)通项公式法:对任意nn*,都满足an=pn+q(p,q为常数).(4)前n项和公式法:对任意nn*,都满足sn=an2+bn(a,b为常数).说明:证明数列an是等差数列的最终方法只能用定义法和等差中项法.2.证明某数列不是等差数列若证明某数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为sn,且sk=110.(1)求a及k的值;(2)已知数列bn满足bn=snn,证明数列bn是等差数列,并求其前n项和tn.【解析】(1)设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以sk=ka1+k(k-1)2d=2k+k(k-1)22=k2+k.由sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得sn=n(n+1),则bn=snn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列,所以bn=n+1,所以tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2.考点三等差数列性质及其应用命题精解读考什么:(1)等差数列性质.(2)等差数列前n项和的最值怎么考:等差数列性质作为考查等差数列运算知识的最佳载体,因其考查知识点较多成为高考命题的热点新趋势:解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.学霸好方法1.等差数列常用性质和结论的运用2.求等差数列前n项和sn最值的两种方法(1)函数法(2)通项变号法3.交汇问题数列与不等式结合考查分类讨论思想、数列与函数结合考查数形结合思想与等差数列项的性质有关的运算【典例】1.(2020武汉模拟)在等差数列an中,前n项和sn满足s7-s2=45,则a5=()a.7b.9c.14d.18【解析】选b.因为在等差数列an中,s7-s2=45,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.【一题多解】选b.设等差数列an的公差为d,因为在等差数列an中,s7-s2=45,所以7a1+762d-(2a1+d)=45,整理得a1+4d=9,所以a5=9,故选b.2.(2020太原模拟)在等差数列an中,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则a6=()a.8b.6c.4d.3【解析】选d.由等差数列的性质可知2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=23a3+32a9=62a6=36,得a6=3.在等差数列中涉及两项和时,应用哪些性质能够帮助我们快速解题?提示:在等差数列中涉及两项和时,一定要注意其项数和的关系,如果和相等,则两项的和也对应相等.等差数列和的性质【典例】1.一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为()a.18b.12c.10d.6【解析】选c.设此数列为an,因为an是等差数列,所以sn,s2n-sn,s3n-s2n成等差数列,即2(s2n-sn)=sn+(s3n-s2n),因为sn=3,s3n=21,所以2(s2n-3)=3+21-s2n,解得s2n=10.2.等差数列an,bn的前n项和分别为sn,tn,若anbn =2n3n+1,则s21t21=_.【解析】由anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=(2n-1)(a1+a2n-1)2(2n-1)(b1+b2n-1)2=s2n-1t2n-1=2n3n+1.则s21t21=s211-1t211-1=a11b11=211311+1=1117.答案:1117在等差数列中sn,s2n-sn,s3n-s2n,成等差数列吗?提示:在等差数列中sn,s2n-sn,s3n-s2n,仍成等差数列.等差数列和的最值问题【典例】等差数列an中,a10,s5=s12,则当sn有最大值时,n的值为_.【解析】设等差数列an的公差为d,由s5=s12得5a1+10d=12a1+66d,所以d=-18a10可知d0,d0时,满足an0,an+10的项数n使得sn取得最大值;当a10时,满足an0,an+10的项数n使得sn取得最小值.1.(2020济南模拟)等差数列an的前n项和为sn,若a1+a3+a5+a7+a9=20,则s9=()a.27b.36c.45d.54【解析】选b.依题意a1+a3+a5+a7+a9=5a5=20,a5=4,所以s9=a1+a929=9a5=36.2.设等差数列an的前n项和为sn,且a10,a3+a100,a6a70的最大自然数n的值为()a.6b.7c.12d.13【解析】选c.因为等差数列an中a10,a6a70,a70,a1+a13=2a70,s130的最大自然数n的值为12.【变式备选】 设等差数列an的前n项和为sn,若s6s7s5,则满足snsn+1s7s5,得s7=s6+a7s5,所以a70,所以s13=13(a1+a13)2=13a70,所以s12s130,即满足snsn+10的正整数n的值为12.3.(2020长沙模拟)等差数列an的前n项和为sn,已知s3=12,s6=51,则s9的值等于()a.66b.90c.117d.127【解析】选c.等差数列an的前n项和为sn,由题意可得s3,s6-s3,s9-s6成等差数列,故2(s6-s3)=s3+(s9-s6),代入数据可得2(51-12)=12+(s9-51),解得s9=117.1.在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=()a.10b.18c.20d.28【解析】选c.因为a3+a8=10,所以由等差数列的性质,得a5+a6=a3+a8=10,所以3a5+a7=2a5+2a6=20.2.设等差数列an的前n项和为sn,a10且a6a5=811,则当sn取最小值时,n的值为()a.11b.10c.