（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评三十一 数列（含递推公式） 新人教B版

核心素养测评三十一 数列(含递推公式)(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知数列an的通项公式an=2n-4,nn*,若它的第k项满足2ak5,则k=()a.2b.3c.4d.5【解析】选c.数列an的第k项满足2ak5,即22k-45,解得3k4.5.因为kn*,所以k=4.2.若数列an的前n项和sn满足sn=4-an(nn*),则a5=()a.16 b.116 c.8d.18【解析】选d.当n=1时,a1=s1=4-a1,所以a1=2;当n2时,an=sn-sn-1=an-1-an,所以an=12an-1,所以数列an是以2为首项,以12为公比的等比数列,所以a5=2124=18.3.函数f(x)由下表定义:x25314f(x)12345若a0=5,an+1=f(an)(nn),则a2 021的值为()a.1 b.2 c.4d.5【解析】选b.因为a0=5,an+1=f(an),所以a1=f(a0)=f(5)=2,a2=f(a1)=f(2)=1,a3=f(a2)=f(1)=4,a4=f(a3)=f(4)=5,a5=f(a4)=f(5)=2,所以a1=a5.所以an是以4为周期的周期数列.所以a2 021=a1=2.4.已知数列an的通项公式为an=9n2-9n+29n2-1(nn*).则下列说法正确的是()a.这个数列的第10项为2731b.98101是该数列中的项c.数列中的各项都在区间14,1内d.数列an是单调递减数列【解析】选c.an=9n2-9n+29n2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.令n=10,得a10=2831,故选项a不正确;令3n-23n+1=98101,得9n=300,此方程无正整数解,故98101不是该数列中的项,故选项b不正确;因为an=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1,又nn*,所以数列an是单调递增数列,所以14an1,所以数列中的各项都在区间14,1内,故选项c正确,选项d不正确.【变式备选】在数列an中,a1=3,an+1=an+1n(n+1),则通项公式an=_.【解析】原递推公式可化为an+1-an=1n-1n+1,所以a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,an-an-1=1n-1-1n,逐项相加得an-a1=1-12+12-13+1n-1-1n=1-1n,所以an=4-1n(n2),经检验n=1也满足,故an=4-1n.答案:4-1n5.(多选)若数列an满足12an+1an2(nn*),则称an是“紧密数列”.若an(n=1,2,3,4)是“紧密数列”,且a1=1,a2=32,a3=x,a4=4,则x的值可以是()a.1b.2c.3d.72【解析】选bc.依题意可得12x322,124x2,解得2x3,故x的取值范围为2,3,故选bc.6.在数列an中,a1=1,an+1-an=sin(n+1)2,记sn为数列an的前n项和,则s2 021=()a.0b.2 020c.1 011d.2 021【解析】选c.由a1=1及an+1-an=sin(n+1)2,得an+1=an+sin(n+1)2,所以a2=a1+sin =1,a3=a2+sin32=0,a4=a3+sin42=0,a5=a4+sin52=1,a6=a5+sin62=1,a7=a6+sin72=0,a8=a7+sin82=0,可见数列an为周期数列,周期t=4,所以s2 021=505(a1+a2+a3+a4)+a1=1 011.7.在数列an中,其前n项和为sn,且sn=n+23an,则anan-1的最大值为()a.-3b.-1c.3d.1【解析】选c.当n2时,sn=n+23an,sn-1=n+13an-1.两式作差可得an=sn-sn-1=n+23an-n+13an-1,则anan-1=n+1n-1=1+2n-1,据此可得,当n=2时,anan-1取到最大值3.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020昆明模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.他们研究过图中的1,5,12,22,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,若按此规律继续下去,第n个五角形数an=_.【解析】观察图形,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n2时,an=an-1+3n-2,所以an-an-1=3n-2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(3n-2)+3(n-1)-2+(32-2)+1=32n2-12n.答案:32n2-12n【变式备选】将数列an中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10记数阵中的第1列数a1,a2,a4,构成的数列为bn,sn为数列bn的前n项和.若sn=2bn-1,则a56=_.【解析】当n2时,因为sn=2bn-1,所以sn-1=2bn-1-1,所以bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1(n2且nn*),因为b1=2b1-1,所以b1=1,所以数列bn是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=2n-1.设a1,a2,a4,a7,a11,的下标1,2,4,7,11,构成数列cn,则c2-c1=1,c3-c2=2,c4-c3=3,c5-c4=4,cn-cn-1=n-1,累加得,cn-c1=1+2+3+4+(n-1),所以cn=n(n-1)2+1,由cn=n(n-1)2+1=56,得n=11,所以a56=b11=210=1 024.答案:1 0249.(2020济南模拟)设数列an的前n项和为sn,若s2=4,an+1=2sn+1,nn*,则a1=_,s5=_.【解析】方法一:由a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1.由an+1=sn+1-sn=2sn+1,得sn+1=3sn+1,所以sn+1+12=3sn+12,所以sn+12是以32为首项,3为公比的等比数列,所以sn+12=323n-1,即sn=3n-12,所以s5=121.方法二:由a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,又an+1=2sn+1,an+2=2sn+1+1,两式相减得an+2-an+1=2an+1,即an+2an+1=3,又a2a1=3,所以an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an+1=3n,所以sn=3n-12,所以s5=121.答案:112110.(2020广州模拟)已知数列an中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,nn*,若对于任意的a-2,2,nn*,不等式an+1n+12t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为_.【解析】n(an+1-an)=an+1nan+1=(n+1)an+1,即an+1n+1-ann=1n(n+1)=1n-1n+1,由累加法可得:an+1n+1=an+1n+1-ann+ann-an-1n-1+a22-a11+a1,即an+1n+1=1n-1n+1+1n-1-1n+1-12+2=3-1n+13,对于任意的a-2,2,nn*,不等式an+1n+1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nn*).所以数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,已知对任意的nn*,都有ana6成立,结合函数f(x)=1+12x-2-a2的单调性,可知52-a26,