（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评三十 均值不等式 新人教B版

核心素养测评三十 均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m0,则m+3n的最小值等于()a.22b.2c.23d.52【解析】选c.因为mn=1,其中m0,所以n0,所以m+3n23mn=23,当且仅当m=3,n=33时取等号,所以m+3n的最小值等于23.2.(2020宿州模拟)已知函数y=x-4+9x+1(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于()a.9b.7c.5d.3【解析】选b.因为x-1,所以x+10,所以y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-52x+19x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为()a.1b.2c.22d.4【解析】选d.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y22xy=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019温州模拟)若ab0,则a2+2b2ab的最小值为()a.22b.2c.3d.2【解析】选a.因为ab0,所以a2+2b2ab=ab+2ba2ab2ba=22,当且仅当ab=2ba,即a=2b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为()a.32b.2c.94d.4【解析】选c.由题意可知(a+1)(b+1)a+1+b+122=322=94,当且仅当a=b=12时取等号.6.(2020滨州模拟)已知a0,b0,4a+b=2,则1a+1b的最小值是()a.4b.92c.5d.9【解析】选b.因为a0,b0,4a+b=2,所以1a+1b=121a+1b(4a+b)=125+ba+4ab125+2ba4ab=92,当且仅当ba=4ab,即a=13,b=23时取等号.7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是()a.322b.2c.12d.-566【解析】选b.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y0,由y0,x为非负数,当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x0时,y0,x+y0,则x+2y=y+(x+y)2y(x+y)=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(xn*),则当每台机器运转_年时,年平均利润最大,最大值是_万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x0,故yx18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知ab0,则a2+16b(a-b)的最小值是_.【解析】因为ab0,所以b(a-b)b+a-b22=a24,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+16b(a-b)a2+16a24=a2+64a22a264a2=16,当且仅当a=22时等号成立.所以当a=22,b=2时,a2+16b(a-b)取得最小值16.答案:1610.(2019阳泉模拟)函数y=x2x-1(x1)的最大值为_,此时x的值为_.【解析】函数y=x2x-1=(x+1)(x-1)+1x-1=x+1+1x-1=(x-1)+1x-1+2 (x0,b0,则下列不等式中一定成立的是()a.a+b+1ab22b.2aba+babc.a2+b2aba+bd.(a+b)1a+1b4【解析】选acd.因为a0,b0,所以a+b+1ab2ab+1ab22,当且仅当a=b且2ab=1ab,即a=b=22时取等号,故a成立;因为a+b2ab0,所以2aba+b2ab2ab,当且仅当a=b时取等号,所以2aba+bab不一定成立,故b不成立,因为2aba+b2ab2ab=ab,当且仅当a=b时取等号,a2+b2a+b=(a+b)2-2aba+b=a+b-2aba+b2ab-ab,当且仅当a=b时取等号,所以a2+b2a+bab,所以a2+b2aba+b,故c一定成立,因为(a+b)1a+1b=2+ba+ab4,当且仅当a=b时取等号,故d一定成立.2.(5分)正数a,b满足1a+9b=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()a.3,+)b.(-,3c.(-,6d.6,+)【解析】选d.因为a0,b0,1a+9b=1,所以a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab16,当且仅当ba=9ab,即a=4,b=12时取等号.依题意,16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.3.(5分)(2019聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若ar,br,且ab0,则1a2+1b2的最小值为()a.3b.1c.49 d.19【解析】选b.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以4a2+b2=3,所以4a2+b2=9,所以1a2+1b2=1a2+1b24a2+b29=59+b29a2+4a29b259+49=1.当且仅当b29a2=4a29b2时,等号成立,所以1a2+1b2的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则1x+1+1y+2的最小值为_.【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则1x+1+1y+2=18(x+1)+(y+2)1x+1+1y+2=182+y+2x+1+x+1y+2182+2y+2x+1x+1y+2=12,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值12.答案:125.(5分)(2020朝阳模拟)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且abc的面积为3c,则ab的最小值为_.【解析】在abc中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos c=c2,可得cos