（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十七 圆锥曲线中的探究性问题 新人教B版

核心素养测评五十七 圆锥曲线中的探究性问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知椭圆e:x2a2+y24=1,设直线l:y=kx+1kr交椭圆e所得的弦长为l.则下列直线中,交椭圆e所得的弦长不可能等于l的是()a.mx+y+m=0b.mx+y-m=0c.mx-y-1=0d.mx-y-2=0【解析】选d.当直线l过点-1,0,取m=-1,直线l和选项a中的直线重合,故排除a;当直线l过点1,0,取m=-1,直线l和选项b中的直线关于y轴对称,被椭圆e截得的弦长相同,故排除b;当k=0时,取m=0,直线l和选项c中的直线关于x轴对称,被椭圆e截得的弦长相同,故排除c;直线l的斜率为k,且过点0,1,选项d中的直线的斜率为m,且过点0,-2,这两条直线不关于x轴、y轴和原点对称,故被椭圆e所截得的弦长不可能相等.2.(2020菏泽模拟)已知过抛物线c:y2=4x焦点的直线交抛物线c于p,q两点,交圆x2+y2-2x=0于m,n两点,其中p, m位于第一象限,则1|pm|+4|qn|的值不可能为()a.3b.4c.5d.6【解析】选a.可以作出如图所示的图形,由图可得,设pf=m,qf=n,则pm=m-1,qn=n-1,因为y2=4x,所以p=2,根据抛物线的常用结论,有1m+1n=2p=1,所以m+nmn=1,则m+n=mn,所以1|pm|+4|qn|=1m-1+4n-1=4m+n-5mn-(m+n)+1=4m+n-5,又因为(4m+n)1=(4m+n)1m+1n=4+4mn+nm+15+24mnnm,当且仅当n=2m=3时取等号,得4m+n9,所以4m+n-54,则1|pm|+4|qn|的值不可能为3.3.(2019株洲模拟)点f为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点,若椭圆上存在点a使aof(o为坐标原点)为正三角形,则椭圆的离心率为()a.3-12b.3-1c.2-12d.2-1【解析】选b.由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为aof为正三角形,则点c2,32c在椭圆上,代入得c24a2+3c24b2=1,即e2+3e21-e2=4,得e2=4-23,解得e=3-1.4.(多选)我们把离心率为e=5+12的双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)称为黄金双曲线,如图.给出以下几个说法,其中正确的是()a.双曲线x2-2y25+1=1是黄金双曲线b.若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线c.若f1b1a2=90,则该双曲线是黄金双曲线d.若mon=90,则该双曲线是黄金双曲线【解析】选abcd.双曲线x2-2y25+1=1中,因为e=1+5+121=5+12,所以双曲线x2-2y25+1=1是黄金双曲线,故a正确;b2=ac,则e=ca=a2+aca=1+e,所以e2-e-1=0,解得e=5+12,或e=1-52(舍),所以该双曲线是黄金双曲线,故b正确;f1,f2为左右焦点,a1,a2为左右顶点,b1(0,b),b2(0,-b),且f1b1a2=90,所以b1f12+b1a22=a2f12,即b2+2c2=(a+c)2,整理,得b2=ac,由b知该双曲线是黄金双曲线,故c正确;mn经过右焦点f2且mnf1f2,mon=90,所以nf2=of2,所以b2a=c,所以b2=ac,由b知该双曲线是黄金双曲线,故d正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020沈阳模拟)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为f1,f2,过f1的直线l1与过f2的直线l2交于点m,设m的坐标为x0,y0,若l1l2,则下列结论序号正确的有_.x024+y0231,x04+y031.【解析】f1-1,0,f21,0,因为l1l2,mf1mf2=0,所以-1-x01-x0+-y0-y0=0,即x02+y02=1,m在圆x2+y2=1上,它在椭圆的内部,故x024+y0231,o在直线x4+y3=1的下方,故圆x2+y2=1在其下方,即x04+y03x02+y02=1,故成立.答案:6.(2020北京模拟)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点o(0,0),m(-4,0),n(4,0),p(0,-2),q(0,2),h(4,2).线段om上的动点a满足oa=om0,1;线段hn上的动点b满足hb=hn.直线pa与直线qb交于点l,设直线pa的斜率记为k,直线qb的斜率记为k,则kk的值为_;当变化时,动点l一定在_(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.【解析】因为oa=om0,1;所以a(-4,0),又p(0,-2),所以k=-24=-12;因为hb=hn.所以b(4,2-2),所以k=2-2-24-0=-2,所以kk=14,设l(x,y),则k=y+2x-0,k=y-2x-0,所以kk=y+2xy-2x=y2-4x2,所以y2-4x2=14,即y24-x216=1,即动点l一定在双曲线上.答案:14双曲线三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2019德州模拟)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为f1,f2,离心率为12,p是椭圆c上的一个动点,且pf1f2面积的最大值为3.(1)求椭圆c的方程.(2)设直线pf2斜率为k(k0),且pf2与椭圆c的另一个交点为q,是否存在点t(0,t),使得|tp|=|tq|.若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当p为c的短轴顶点时,pf1f2的面积有最大值3,所以ca=12a2=b2+c2122cb=3 ,解得a=2b=3c=1 ,故椭圆c的方程为:x24+y23=1.(2)设直线pq的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入x24+y23=1,得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0;设px1,y1,qx2,y2,线段pq的中点为nx0,y0,x0=x1+x22=4k23+4k2,y0=y1+y22=kx0-1=-3k3+4k2,即n4k23+4k2,-3k3+4k2,因为|tp=tq|,所以直线tn为线段pq的垂直平分线,所以tnpq,则ktnkpq=-1,即-3k4k2+3-t4k24k2+3k=-1,所以t=k4k2+3=14k+3k,当k0时,因为4k+3k43(当且仅当k=32时取等号),所以t0,312,当kb0)的右焦点与抛物线e:y2=2px(p0)的焦点f重合,且点f到e的准线的距离为2.(1)求椭圆c的方程.(2)若直线l与c交于m,n两点,与e交于a,b两点,且oaob=-4(o为坐标原点),求mnf面积的最大值.【解析】(1)因为点f到e的准线的距离为2,所以p=2,f(1,0),由c=1,ca=12,a2=b2+c2, 解得a=2,b=3, 所以椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)由(1)知抛物线e的方程为y2=4x. 要使直线l与抛物线e交于两点,则直线l的斜率不为0,可设l的方程为x=my+n,由x=my+n,y2=4x, 得y2-4my-4n=0 所以=(-4m)2+16n0,得m2+n0.设ax1,y1,bx2,y2 则y1+y2=4m,y1y2=-4n, 所以x1x2=y124y224=(y1y2)216=16n21