（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十三 圆锥曲线中求值与证明问题 新人教B版

核心素养测评五十三 圆锥曲线中求值与证明问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知抛物线y2=2px(p0)过点a12,2,其准线与x轴交于点b,直线ab与抛物线的另一个交点为m,若=,则实数为()a.13b.12c.2d.3【解析】选c.把点a12,2代入抛物线方程,得2=2p12,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则b(-1,0).设mym24,ym,则=-32,-2,=-1-ym24,-ym.由=,得-1-ym24=-32-ym=-2,解得=2或=1(舍去).2.已知f1,f2是椭圆x24+y23=1的左右焦点,点a的坐标为-1,32,则f1af2的平分线l所在直线的斜率为()a.-2b.-1c.-3d.-2【解析】选a.因为a-1,32,可知a在椭圆上,又f1,f2是椭圆x24+y23=1的左右焦点,f1(-1,0),所以af1x轴,所以|af1|=32,|af2|=52,所以点f2(1,0)关于f1af2的平分线l对称的点f在线段af1的延长线上,又|af|=|af2|=52,|ff1|=1,所以f(-1,-1),线段ff2的中点0,-12,f1af2的平分线l的斜率k=32-12-1-0=-2.3.已知双曲线c:43x2-4y2=1的左焦点恰好在抛物线d:y2=2px(p0)的准线上,过点p(1,2)作两直线pa,pb分别与抛物线d交于a,b两点,若直线pa,pb的倾斜角互补,则点a,b的纵坐标之和为()a.2b.4c.-4d.4【解析】选c.c的左焦点f(-1,0),d的准线x=-p2,故p=2.运用极端化思想处理,当两直线pa,pb重合时,a,b的坐标均为(1,-2),点a,b的纵坐标之和为-4.一般性证明:设ay124,y1,by224,y2,则kpa+kpb=0y1-2y124-1+y2-2y224-1=04y1+2+4y2+2=0y1+y2=-4.4.(多选)(2020德州模拟)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为233,右顶点为a,以a为圆心,b为半径作圆a,圆a与双曲线c的一条渐近线交于m、n两点,则有()a.渐近线方程为y=3xb.渐近线方程为y=33xc.man=60d.man=120【解析】选bc.由题意可得e=ca=233,可设c=2t,a=3t,t0,则b=c2-a2=t,a(3t,0),圆a的圆心为(3t,0),半径r为t,双曲线的渐近线方程为y=bax,即y=33x,圆心a到渐近线的距离为d=333t1+13=32t,弦长|mn|=2r2-d2=2t2-34t2=t=b,可得三角形mna为等边三角形,即有man=60.二、填空题(每小题5分，共10分)5.设抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,过点f的直线交抛物线于a,b两点,满足=3,若soab=433,则p=_.【解析】可得fp2,0,因为=3,所以ya=-3yb,因为a,b,f共线,所以ya-0ya22p-p2=yb-0yb22p-p2,-3yb-09yb22p-p2=yb-0yb22p-p2,解得|yb|=33p,又soab=12p2|ya-yb|=p|yb|=33p2=433,所以p=2.答案:26.(2020杭州模拟)若双曲线mx2-y2=1的渐近线为y=2x,则m=_;焦点f到渐近线的距离为_.【解析】由双曲线的方程知m0,由mx2-y2=0得y=mx,因为双曲线的渐近线方程为y=2x,所以m=2,得m=4,双曲线的焦点f的坐标为52,0,焦点f到渐近线的距离为:522+12=1.答案:41三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知抛物线c:y2=2px(p0),直线y=x-1与c相交所得的弦长为8.(1)求p的值.(2)过原点o的直线l与抛物线c交于m点,与直线x=-1交于h点,过点h作y轴的垂线交抛物线c于n点,求证:直线mn过定点.【解析】(1)由y2=2pxy=x-1,消x可得y2-2py-2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为1+12(y1+y2)2-4y1y2=24p2+8p=8,解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,设m14y02,y0,所以直线om的方程为y=4y0x,当x=-1时,yh=-4y0,代入抛物线方程y2=4x,可得xn=4y02,所以n4y02,-4y0,当14y024y02,即y02时,直线mn的斜率k=y0+4y0y024-4y02=4y0y02-4,直线mn的方程为y-y0=4y0y02-4x-14y02,整理可得y=4y0y02-4(x-1),故直线mn过定点(1,0).当14y02=4y02,即y0=2时,直线mn的方程为x=1,必过点(1,0),综上,直线mn过定点(1,0).8.已知抛物线e:y2=4x,圆c:(x-3)2+y2=1.(1)若过抛物线e的焦点f的直线l与圆c相切,求直线l的方程.(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线e于a,b两点,x轴上是否存在点m(t,0)使amo=bmo(o为坐标原点)?若存在,求出点m的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题知抛物线e的焦点为f(1,0),当直线的斜率不存在时,过点f(1,0)的直线不可能与圆c相切,所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,所以圆心(3,0)到直线l的距离为d=|3k-k|k2+1=|2k|k2+1,当直线l与圆相切时,有d=1|2k|k2+1=1k=33,所以所求的切线方程为y=33(x-1)或y=-33(x-1).(2)由(1)知,不妨设直线l:y=33(x-1),交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,联立方程组y=33(x-1),y2=4xx2-14x+1=0,所以x1+x2=14,x1x2=1,假设存在点m(t,0)使amo=bmo,则kam+kbm=0.而kam=y1x1-t,kbm=y2x2-t,所以kam+kbm=y1x1-t+y2x2-t=y1(x2-t)+y2(x1-t)(x1-t)(x2-t)=0y1x2+y2x1-(y1+y2