（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 第16讲 导数与函数的极值、最值导学案 新人教A版

第16讲导数与函数的极值、最值【课程要求】了解函数在某点取得极值的充要条件；会用导数求函数的极值；会求闭区间上的最大(小)值对应学生用书p44【基础检测】1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)在(a，b)内，f(x)0且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数()答案 (1)(2)2选修22p28例4设函数f(x)lnx，则()ax为f(x)的极大值点bx为f(x)的极小值点cx2为f(x)的极大值点dx2为f(x)的极小值点解析f(x)(x0)，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，x2为f(x)的极小值点答案d3选修22p30例5函数yx2cosx在区间上的最大值是_解析y12sinx，当x时，y0；当x时，y0，在x(2，4)上恒有f(x)1时，f(x)0，当0x0，因此f(x)有极大值1.答案a6若函数f(x)2x3ax21(ar)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_解析由f(x)6x22ax0得x0，x，因为函数f(x)在(0，)上有且仅有一个零点且f(0)1，所以0，f0，因此2a10，a3.从而函数f(x)在1，0上单调递增，在0，1上单调递减，所以f(x)maxf(0)，f(x)minminf(1)，f(1)f(1)，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.答案3【知识要点】1函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_都小_，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧_f(x)0_，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)1)令g(x)2ax2axa1，x(1，)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点当a0时，a28a(1a)a(9a8)(i)当0时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1.由g(1)10，可得1x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增因此函数有两个极值点当a0，由g(1)10，可得x110，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数有一个极值点综上所述，当a时，函数f(x)有两个极值点小结函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性1若函数f(x)(2a)(ar)在上有极大值，则a的取值范围是()a.b.c.d(e，)解析令f(x)(2a)(x1)(exa)0，得xlna，解得a(，e)，由题意，有极大值，故x时，f(x)0，x(lna，1)时，f(x)0，得a0，得1x4，令t(x)0，得x0.此时，函数f(x)在(1，)上单调递增，这与题意不符当b1时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，b)b(b，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)在(，1)，(b，)上单调递增，在(1，b)上单调递减由题意，得b3.所以当b4时，函数f(x)在1，4上的最小值为f(4)4b；当3b4时，函数f(x)在1，4上的最小值为f(b)b3b2.综上，当b4时，函数f(x)在1，4上的最小值为；当3b4，f(x)在1，4上的最小值为b3b2.小结1.掌握求函数f(x)在区间a，b上的最值的方法(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到2搞清极值与最值的区别与联系(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的导函数符号得出的(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有，且极大值并不一定比极小值大(3)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值3已知函数f(x)lnxax(ar)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值解析 (1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln2a，所以当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a.综上可知，当0a0)恒成立，求m的最小值h的最大值解析 (1)函数f的定义域为，其导数为fa.由f0得x1或a，设u，u，当x时，u0；当x时，u0恒成立所以，当a0或a时，方程a无根，函数f只有x1一个极值点当a时，方程a的根也为x1，此时f的因式a0恒成立，故函数f只有x1一个极值点当0a0成立，这与0恒成立矛盾；当k10时，因为在上为减函数，且0，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，ln1m，若对任意x，都有0成立，则只需ln1m0成立，ln1m得k1e1m，当m0时，则m的最小值hme1m，he1m，函数h在上递增，在上递减，h，即m的最小值h的最大值为；综上所述，m的最小值h的最大值为.小结(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值(3)不等式成立(恒成立)问题中的常用结论(1)f(x)a恒成立f(x)mina，f(x)a成立f(x)maxa.(2)f(x)b恒成立f(x)maxb，f(x)b成立f(x)minb.(3)f(x)g(x)恒成立，令f(x)f(x)g(x)，则f(x)min0.(4)x1m，x2n，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max；x1m，x2n，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min；x1m，x2n，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min；x1m，x2n，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.4已知f(x)aexx(e为自然对数的底数)，g(x)x(lnx1)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)h(x)f(x)g(x)有两个极值点，求实数a的取值范围解析 (1)f(x)aex1，当a0时，f(x)0时，令f(x)0得xlna，f(x)在(lna，)单调递增，在(，lna)单调递减.(2)设h(x)f(x)g(x)aexxlnx，则h(x)aexlnx1，h(x)有两个不同的极值点，则h(x)有两个不同的穿过x轴的零点，即a有两个不同的根，设(x)，则(x)，令t(x)1lnx，则t(x)，x0，t(x)1时，(x)0，(1)，当0a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f(x)在0，1单调递增，所以f(x)在区间0，1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.()当a3时，由(1)知，f(x)在0，1单调递减，所