江苏省无锡市2020届高三数学上学期期末考试试题

江苏省无锡市2020届高三数学上学期期末考试试题(满分160分，考试时间120分钟)20201一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 集合ax|x2k1，kz，b1，2，3，4，则ab_2. 已知复数zabi(a，br)，且满足iz9i(其中i为虚数单位)，则ab_3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4 人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学中午用餐平均用时为_分钟4. 函数f(x)(a1)x3(a1，a2)过定点_5. 已知等差数列an(公差不为0)，其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为_6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道做答，小李会做其中的3道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_7. 在长方体abcda1b1c1d1中，ab1，ad2，aa11，点e为bc的中点，则点a到平面a1de的距离是_(第7题)(第8题)8. 如图所示的流程图中，输出n的值为_9. 圆c：(x1)2(y2)24关于直线y2x1对称的圆的方程为_10. 已知正方形abcd的边长为2，圆o内切于正方形abcd，mn为圆o的一条动直径，点p为正方形abcd边界上任一点， 则的取值范围是_11. 双曲线c：1的左右顶点为a，b，以ab为直径作圆o，p为双曲线右支上不同于顶点b的任一点，连结pa交圆o于点q，设直线pb，qb的斜率分别为k1，k2.若k1k2，则_12. 若对于任意的正数a，b，不等式(2aba2)k4b24ab3a2恒成立，则k的最大值为_13. 在直角三角形abc中，c为直角，bac45，点d在线段bc上，且cd cb.若tandab，则bac的正切值为_14. 已知函数f(x)|x21|x2kx9在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，向量m(2ab，c)，向量n(cos b，cos c)，且mn.(1) 求角c的大小；(2) 求ysin asin(b)的最大值16. (本小题满分14分)在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，o为其中心，pad为锐角三角形，且平面pad底面abcd，点e为pd的中点，cddp.求证：(1) oe平面pab；(2) cdpa.17. (本小题满分14分)已知椭圆c：1(ab0)的左右焦点分别为f1，f2，焦距为4，且椭圆过点(2，)，过点f2且不平行于坐标轴的直线l交椭圆于p，q两点，点q关于x轴的对称点为r，直线pr交x轴于点m.(1) 求pf1q的周长；(2) 求pf1m面积的最大值18. (本小题满分16分)一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形mnpq的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形abcd(如图所示)，其中adab.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450 m3，深2 m若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65 400元(1) 求发酵池ad边长的范围；(2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 m和b m的走道(b为常数)问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小19. (本小题满分16分)已知an，bn均为正项数列，其前n项和分别为sn，tn，且a1，b11，b22，当n2，nn*时，sn112an，bn2tn1.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设cn，求数列cn的前n项和pn.20. (本小题满分16分)设函数f(x)ln xax，ar，a0.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)0有两个零点x1，x2(x1x2)() 求a的取值范围；() 求证：x1x2随着的增大而增大2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知a，br，矩阵a.若矩阵a属于特征值5的一个特征向量为，点p(2，1)在a对应的变换作用下得到点p(1，2)，求矩阵a.22.(本小题满分10分)已知曲线c1：(其中为参数)，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为cos()2.设曲线c1与曲线c2交于a，b两点，求ab的长23. (本小题满分10分)如图，矩形abcd所在的平面垂直于平面aeb，点o为ab的中点， aeb90，eab30，ab2，ad3.(1) 求异面直线oc与de所成角的余弦值；(2) 求二面角adec的正弦值24.(本小题满分10分)对于任意的x1，nn*，用数学归纳法证明：ex1.2020届高三模拟考试试卷(无锡)数学参考答案及评分标准1. 1，32. 83. 4. (0，2)5. 46. 7. 8. 49. (x3)2y2410. 0，111. 12. 213. 314. (，8)15. 解：(1) mn， (2ab)cos cccos b0.(2分)由正弦定理可得2sin acos csin bcos csin ccos b0，(4分)即2sin acos csin(bc)sin a(6分)又a为abc的内角， sin a0， cos c.又c为abc的内角，故c.(8分)(2) ysin asin(b)sin(b)sin(b)(10分)cos bsin bsin bcos bsin bcos b2sin(b)，(12分)当b时，y的最大值为2.(14分)16. 证明：(1) 连结bd，因为底面是平行四边形，故bd经过o点，且点o为bd的中点又点e为pd的中点，所以oepb.(4分)因为oe平面pab，pb平面pab，所以oe平面pab.(6分)(2) 在平面pad内作phad，由于pad为锐角三角形，设phadh.因为平面pad底面abcd，平面pad底面abcdad，phad，ph平面pad，所以ph平面abcd.(8分)又cd平面abcd，所以phcd.(10分)而cddp，phpdp，ph，pd平面pad，所以cd平面pad.(12分)而pa平面pad，则cdpa.(14分)17. 解：(1) 由椭圆的焦距为4，则c2，从而a2b24.又椭圆过点(2，)，所以1，即36b225a29a2b2，消去b，得9a497a21440，解得a29或a2(舍去)，所以a3.(4分)则pf1q的周长为4a12.(6分)(2) 由(1)得椭圆方程为1，f2(2，0)设直线l的方程为yk(x2)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(m，0)，则r(x2，y2)，直线pr的方程为yy1(xx1)，令y0，则y1(xx1)，xx1，所以mx1.(8分)将直线l的方程与椭圆方程联立，并消去y，得(59k2)x236k2x36k2450，则x1x2，x1x2，(10分)从而m，(12分)spf1mf1m|y1|y1|y1|，所以pf1m面积的最大值为.(14分)18. 解：设发酵池ad边长为x m，则另一边长为 m，且x，即x15.(2分)(1) 2252004(x)15065 400，(4分)化简得x234x2250，解得9x25，(6分)所以发酵池ad边长的范围是15，25(8分)(2) 发酵馆占地面积s(x8)(2b)22516b2bx，15x25，(10分)令s2b0，解得x，(0，)(，)s0s递减递增当15，即b4时，ad边为15 m，s最小；(12分)当1525，即b4时，ad边长为 m，s最小；(14分)当25时，即0b时，ad边长为25 m，s最小(16分)答：(1) 发酵池ad边长的范围是15，25(2) 当b4时，ad边长为15 m，s最小；当b4时，ad边长为 m，s最小；当0b时，ad边长为25 m，s最小(注：答不写扣2分)19. 解：(1) 因为当n2，nn*时sn112an，所以sn12an1，两式相减得an2an2an1，即an2an1，所以.(2分)当n2时，a112a2，所以a2，所以，所以数列an为等比数列，其通项公式为an.(4分)当n2，nn*，bn2tn1，所以(bn2tn1)(bn1bn1)2(tt)，所以(tntn1)(bn1bn1)2(tt)因为tntn10，所以bn1bn12(tntn1)2bn，(6分)所以数列bn为等差数列，且b11，b22，所以数列bn的通项公式为bnn.(8分)(2) 因为cnan，(12分)所以pn()()1，即pn1.(16分)20. (1) 解：因为f(x)a，x0，当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增；(2分)当a0时，x(0，)，f(x)0，x(，)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无减区间；当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，)(4分)(2) () 解：由(1)可知：当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)至多有一个零点，不符合；(5分)当a0时，f()ln a1， 若f()ln a10，即a时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)无零点，不符合； 若f()ln a10，即a时，f(x)只有一个零点，不符合； 若f()ln a10，即0a时，此时e.f(1)a0，所以f(x)在(0，)上只有一个零点，(8分)f()2ln ，设te，则g(t)2ln tt，因为g(t)10，g(t)在(e，)上单调递减，g(t)g(e)2e0，即f()0，所以f(x)在(，)上只有一个零点，(9分)即0a时，f(x)有两个零点，函数有两个零点综上，0a时，函数有两个零点(10分)() 证明： 因为函数f(x)有两个零点x1，x2，所以两式相比可得ln(x1x2).(12分)令t(t1)，则设ln(x1x2)m(t)，m(t).设(t)t2ln t，(t)10，所以(t)在(1，)上单调递增，(t)(1)0，(14分)即m(t)0，m(t)随着t的增大而增大，所以ln(x1x2)随着的增大而增大又e1，即x1x2随着的增大而增大(16分)2020届高三模拟考试试卷(无锡)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：由题意得5，可得(2分)又，可得(4分)解得a2，b3，c1，d4，(8分) a.(10分)22. 解：由cos()2可得(cos cos sin sin )2，即曲线c2的直角坐标方程为xy40；(4分)曲线c1的直角坐标方程为x2y216，(6分)所以圆心到直线的距离为d2，(8分)所以ab24.(10分)23. 解： ab2，eab30，aeb90， eb，ae3.以点e为坐标原点，eb所在直线为x轴，ea所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则e(0，0，0)，a(0，3，0)，b(，0，0)，c(，0，3)，d(0，3，3)，o(，0)，(1) (，3)，(0，3，3)， |2，|3， 9， cos，(2分) 异面直线oc与de所成角的余弦值.(4分)(2) 设平面dce的一个法向量为m(x，y，z)，(，0，3)，则取x，得m(，1，1)(6分)平面ead的一个法向量n(1，0，0)，(8分) cosm，n， s