（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第5讲 函数的值域与最值导学案 新人教A版

第5讲函数的值域与最值【课程要求】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法对应学生用书p12【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yf(x)在上是减函数，在1，)上是增函数，则函数的最小值是1，最大值是.()(2)函数y的值域是(0，)()(3)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案 (1)(2)(3)2必修1p39b组t1函数f(x)x22x的值域是_答案 1，)3必修1p31例4函数y在2，3上的最大值是_答案24函数y1的值域为()a1，) b(1，1)c(1，) d1，1)解析因为2x0，所以42x4，所以02，所以值域为.答案c6已知函数f(x)x24x，xm，5的值域是5，4，则实数m的取值范围是()a(，1) b(1，2c1，2 d2，5解析f(x)x24x(x2)24，当x2时，f(2)4，由f(x)x24x5，解得x5或x1，要使函数在m，5的值域是5，4，则1m2.答案c【知识要点】1函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足条件(1)对于任意的xi，都有_f(x)m_；(2)存在x0i，使得_f(x0)m_(3)对于任意的xi，都有_f(x)m_；(4)存在x0i，使得_f(x0)m_结论m为最大值m为最小值2.函数的值域(1)函数f(x)的值域是_函数值y_的集合，记为y|yf(x)，xa，其中a为f(x)的定义域(2)一次函数ykxb(k0)的值域为_r_(3)二次函数yax2bxc(a0)，当a0时，值域为；当a0时，值域为.(4)反比例函数y(k0)的值域为(，0)(0，)(5)指数函数yax(a0且a1)的值域为_(0，)_(6)对数函数ylogax(a0且a1)的值域为_r_(7)正、余弦函数ysinx，ycosx的值域为_1，1_；正切函数ytanx的值域为_r_对应学生用书p12函数最值与值域的求法例1(1)函数y的值域为_解析 (均值不等式法)y(x1)，又当x1时，x10；当x1时，x10.当x1时，y(x1)24，且当x3时等号成立；当x1时，f(x)x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(2)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2，9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2，9上的最小值为2.含参变量的函数值域与最值问题例3已知函数f(x)2x的定义域为(0，1(a为实数)(1)当a1时，求函数yf(x)的值域；(2)求函数yf(x)在区间(0，1上的最大值及最小值，并求当函数f(x)取得最值时x的值解析 (1)当a1时，f(x)2x，任取0x2x11，则f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2).0x2x11，x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)，f(x)在(0，1上单调递增，当x1时取得最大值1，f(x)的值域为(，1(2)当a0时，yf(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值2a；当a0时，f(x)2x，当1，即a(，2时，yf(x)在(0，1上单调递减，无最大值，当x1时取得最小值2a；当1，即a(2，0)时，yf(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x时取得最小值2.小结1.含参变量的函数最值问题一般有两种类型，一类是参变量的取值决定函数的单调性，另一类是参变量的取值决定函数极值点与自变量取值区间的关系；2.含参变量的函数最值问题的求解关键是参变量分类标准的确定；3.不等式恒成立问题往往化归为函数最值问题，分离参数是解决不等式恒成立问题中的通解通法之一，注意分清“主元”和“参数”5设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是()a1，2 b1，0c1，2 d0，2解析当x0时，f(x)(xa)2，f(0)是f(x)的最小值，a0.当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x1时取“”要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20，解得1a2，a的取值范围是0a2.故选d.答案d6函数f(x)4x24axa22a2在区间0，2上有最小值3，则a的值为_解析f(x)42a2，当0，即a0时，函数f(x)在0，2上是增函数f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当02，即0a4时，f(x)minf2a2.由2a23，得a(0，4)，舍去当2，即a4时，函数f(x)在0，2上是减函数，f(x)minf(2)a210a18.由a210a183，得a5.a4，a5.综上所述，a1或a5.答案1或5对应学生用书p14(2019全国卷理)设函数f(x)的定义域为r，满足f(x1)2f(x)，且当x(0，1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()a.b.c.d.解析f(x1)2f(x)，f(x)2f(x1)，即f(x)中x右移1个单位，函数值变为原来的2倍x(0，1时，f(x)x(x1)；x(1，2时，x1(0，1，f(x)2f(x1)