排列组合最新版本ppt课件

补充知识 排列组合 做一件事情 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事有N m1 m2 mn种不同的方法 2 乘法原理 做一件事情 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 1 加法原理 复习引入 引例1在航海中 航舰之间常以 旗语 相互联系 即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号 现有红 黄 蓝三面旗子 同时升旗 共可表示多少种不同的信号 观察与思考 上 中 下 红 黄 蓝 黄 蓝 红 蓝 红 黄 蓝 黄 蓝 红 黄 红 复习引入 引例1在航海中 航舰之间常以 旗语 相互联系 即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号 现有红 黄 蓝三面旗子 同时升旗 共可表示多少种不同的信号 引入概念 上 中 下 红 黄 蓝 黄 蓝 红 蓝 红 黄 蓝 黄 蓝 红 黄 红 红 黄 蓝 以上的每一种 旗语 利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号 就叫做 从3个元素中选取3个元素的一个排列 本问题共有6个不同的排列 根据乘法原理 3 2 1 6 深化理解 把这个计算过程 引例2从甲 乙 丙3名同学中选2名参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的方法 第一步 确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名 有3种选法 第二步 确定参加下午活动的同学 有2种方法 根据乘法原理 3 2 6即共6种方法 复习引入 引例2从甲 乙 丙3名同学中选2名参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的方法 上午 下午 相当于队列站法 深化理解 引例2从甲 乙 丙3名同学中选2名参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的方法 从3个不同的元素a b c中任取2个 然后按一定的顺序排成一列 求一共有多少种不同的排法 我们把上面问题中被取的对象叫做元素 所有不同排法是ab ac ba bc ca cb 甲乙丙的每一种排列法 就叫做 从3个元素中选取2个元素的一个排列 共有3 2 6个排列 深化理解 把这个计算过程 所有不同排法是 深化理解 引例3由1 2 3 4 5能组成多少个没有重复数字的三位数 每一个数 就叫做一个 排列 引例3由1 2 3 4 5能组成多少个没有重复数字的三位数 解 要得到一个由1 2 3 4 5能组成没有重复数字的三位数 可以通过如下三步 从1 2 3 4 5中选1个放到第一位 有5种放法 从1 2 3 4 5中剩余的4个中选1个放到第二位 有4种放法 从1 2 3 4 5中剩余的3个中选1个放到第二位 有3种放法 根据乘法原理 得到一个这样的三位数有 N 5 4 3 60种不同的方法 这样的三位数60个 复习引入 把这个计算过程 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列的概念 理解 n个元素是不同的 取出的m个元素是不同的 m n是正整数 且m n 排列是m步的集成结果 取出第1个元素放到第1位 取出第2个元素放到第2位 取出第m个元素放到第m位 两个排列相同 当且仅当两个排列的元素完全相同 且元素的排列顺序也完全相同 基本概念 或看作是两大步的集成结果 先 取出m个不同元素 再 按照一定顺序将m个不同元素排成一列 练习1从a b c d这4个字母中 每次取出3个按顺序排成一列 共有多少种不同的排法 解 共有4 3 2 24个 所有的排法 abcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcb 课堂练习 排列数的概念 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号表示 如 从3个不同的元素a b c中任取2个 然后按一定的顺序排成一列 求一共有多少种不同的排列方法 基本概念 下标n是被选数 上标m是选出数 问题 从n个不同元素中出2个元素的排列数是多少 呢 呢 n n 1 n n 1 n 2 n n 1 n 2 公式推导 排列数公式 公式的特点 基本公式 是 取出第1个元素放到第1位 的方法数 取出第2个元素放到第2位 的方法数 取出第m个元素放到第m位 的方法数的乘积 所以 是以上m步的集成的运算公式 m个连续自然数的连乘积 最大因数为n以下依次减1 最小因数是 n m 1 引例1在航海中 航舰之间常以 旗语 相互联系 即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号 现有红 黄 蓝三面旗子 同时升旗 共可表示多少种不同的信号 解 每一种 旗语 就是 从3个元素中选取3个元素的一个排列 排列数为 3 2 1 6 深化理解 共可表示6种不同的信号 引例2从甲 乙 丙3名同学中选2名参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的方法 解 问题可以看为从3个不同的元素中任取2元素的排列问题 其排列数为 深化理解 3 2 6 共有6种不同的方法 引例3由1 2 3 4 5能组成多少个没有重复数字的三位数 解 可以看为从5个不同的元素中任取3元素的排列问题 其排列数为 深化理解 5 4 3 60 共有这样的三位数60个 排列数公式 例计算 1 2 解 1 2 例题讲解 选择题 等于 A B C D D 练习2 课堂练习 排列数公式 1 有5本不同的书 从中选3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 2 有5种不同的书 要买3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 练习 课堂练习 组合与组合数公式 问题一 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的选法 问题二 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动 有多少种不同的选法 甲 乙 甲 丙 乙 丙 3 问题二 问题一 有顺序 无顺序 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列与组合的概念有什么共同点与不同点 一 组合的定义 组合定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 共同点 都要 从n个不同元素中任取m个元素 不同点 排列与元素的顺序有关 而组合则与元素的顺序无关 概念讲解 思考一 aB与Ba是相同的排列还是相同的组合 为什么 思考二 两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢 概念理解 构造排列分成两步完成 先取后排 而构造组合就是其中一个步骤 思考三 组合与排列有联系吗 判断下列问题是组合问题还是排列问题 1 设集合A a b c d e 则集合A的含有3个元素的子集有多少个 2 某铁路线上有5个车站 则这条铁路线上共需准备多少种车票 有多少种不同的火车票价 组合问题 排列问题 3 10人聚会 见面后每两人之间要握手相互问候 共需握手多少次 组合问题 组合问题 组合是选择的结果 排列是选择后再排序的结果 1 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是 ab ac bc 2 已知4个元素a b c d 写出每次取出两个元素的所有组合 ab ac ad bc bd cd 3个 6个 概念理解 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 如 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是 如 已知4个元素a b c d 写出每次取出两个元素的所有组合个数是 概念讲解 二 组合数 注意 是一个数 应该把它与 组合 区别开来 1 写出从a b c d四个元素中任取三个元素的所有组合 abc abd acd bcd b c d d c b a c d 练一练 组合 排列 abcbaccabacbbcacba abdbaddabadbbdadba acdcaddacadccdadca bcdcbddbcbdccdbdcb 三个元素的 1个组合 对应着6个排列 你发现了什么 三 组合数公式 排列与组合是有区别的 但它们又有联系 一般地 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 可以分为以下2步 第1步 先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 第2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 根据分步计数原理 得到 因此 这里m n是自然数 且m n 这个公式叫做组合数公式 概念讲解 组合数公式 从n个不同元中取出m个元素的排列数 组合数的两个性质 证明 公式特征 下标相同而上标差1的两个组合数之和 等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数 此性质的作用 恒等变形 简化运算 等式体现 含与不含某元素 的分类思想 例 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球 1 从口袋内取出3个球 使其中含有1个黑球 有多少种取法 2 从口袋内取出3个球 使其中不含黑球 有多少种取法 3 从口袋内取出3个球 共有多少种取法 解 1 取出3个球中有黑球的方法数 例题讲解 例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球 1 从口袋内取出3个球 使其中含有1个黑球 有多少种取法 2 从口袋内取出3个球 使其中不含黑球 有多少种取法 3 从口袋内取出3个球 共有多少种取法 解 1 取出3个球中有黑球的方法数 取出3个球中无黑球的方法数 例题讲解 例 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球 1 从口袋内取出3个球 使其中含有1个黑球 有多少种取法 2 从口袋内取出3个球 使其中不含黑球 有多少种取法 3 从口袋内取出3个球 共有多少种取法 解 3 按照黑球分类 取出3个球中有黑球的方法数 从口袋内取出3个球 共有取法 另法 一次取出的方法数 取出3个球中无黑球的方法数 例 计算 解 原式 例题讲解 D 190 巩固练习 3 有3张参观券 要在5人中确定3人去参观 不同方法的种数是 10 4 6人同时被邀请参加一项活动 必须有人去 去几人自行决定 共有多少种不同的去法 解 有6类办法 第1类去1人 第2类去2人 第3类去3人 第4类去4人 第5类去5人 第6类去6人 所以共有不同的去法 巩固练习 小结 2 组合数性质 1 组合数公式 例 计算 2 列出所有冠亚军的可能情况 2 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁乙甲 丙甲 丁甲 丙乙 丁乙 丁丙 1 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 解 例题分析 3 已知 求n的值 35 2 120 3 8 例 例5个人站成一排 共有多少种排法 其中甲必须站在中间 有多少种不同的排法 其中甲 乙两人必须相邻 有多少种不同的排法 其中甲 乙两人不相邻 有多少种不同的排法 其中甲 乙两人不站排头和排尾 有多少种不同的排法 其中甲不站排头 乙不站排尾 有多少种不同的排法 7 甲与乙中间必须排2名 有几种排法 例5个人站成一排 其中甲 乙两人不站排头和排尾 有多少种不同的排法 解 甲 乙两人不站排头和排尾 则这两个位置可从其余3人中选2人来站 有种排法 剩下的人有种排法 共有种排法 特殊位置预置法 特殊元素预置法 排除法 例5个人站成一排 其中甲不站排头 乙不站排尾 有多少种不同的排法 解 甲站排头有种排法 乙站排尾有种排法 但两种情况都包含了 甲站排头