弹性力学 第七章ppt课件

第七章空间问题的基本理论 第七章空间问题的基本理论 概述 7 1平衡微分方程 7 2物体内一点的应力状态 7 3主应力最大与最小主应力 7 4几何方程与物理方程 7 5轴对称问题的基本方程 概述 弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型 为求解弹性力学奠定了基础 虽然这些方程的直接求解十分困难 只有小部分可以得到分析解 这些解已经有了广泛的应用 更为重要的是这些方程的建立为有限元 边界元等数值计算提供了基础 弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下 对问题进行简化 化简方程再进行求解 简化后一般可分为平面问题 轴对称问题 球对称问题 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到 可分为空间球对称问题和空间轴对称问题 一 球对称问题 当弹性体的几何形状 约束条件以及外载荷都对称于某一点 过这一点的任一平面都是对称面 这时应力 位移等都对称于这一点 称为球对称问题 球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球 球对称问题 概述 在球对称问题中 应力 应变 位移等分量都只是径向坐标的函数 概述 如果弹性体的几何形状 约束条件以及外载荷都对称与某一轴 过该轴的任一平面都是对称面 这时应力 位移等都对称于这一轴 称为轴对称问题 轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间 在轴对称问题中 应力 应变 位移等分量都只是径向坐标 Z的函数 与 无关 二 轴对称问题 7 1平衡微分方程 7 1平衡微分方程 图7 1 由受力平衡 平衡微分方程 7 1平衡微分方程 由力矩平衡 切应力互等 二维 三维 7 2物体内一点的应力状态 7 2物体内一点的应力状态 方向余弦 7 2 受力平衡 得到全应力分量 斜面上的正应力和切应力 7 3 7 4 方向余弦 7 2物体内一点的应力状态 如果ABC是边界面 成为面力分量 空间问题的应力边界条件 7 5 在上 7 3主应力 最大与最小应力 设主应力与全应力分量的关系 7 3主应力最大与最小应力 代入 7 2 式 整理 由于 所以 不全为零 7 3主应力最大与最小应力 7 6 7 6 即为求主应力公式 与 7 6 式比较 则 上式为应力状态的三个不变量 7 7 当求得主应力以后 利用下式求主方向 将二式除以 c 7 3主应力最大与最小应力 同样也可以求出其他主应力的方向余弦 7 3主应力最大与最小应力 7 4几何方程及物理方程 7 8 7 4几何方程及物理方程 空间问题的几何方程 或写称这种形式 空间问题的位移边界条件 7 9 7 4几何方程及物理方程 物理方程 7 12 其中 7 4几何方程及物理方程 体积应变 单位体积的体积改变 对于一个平行六面体微元 略去高阶小量 体积应变 用位移表示的体积应变 7 4几何方程及物理方程 体积应力 把物理方程 7 12 的前三项相加 7 13 其中称为体积模量 7 4几何方程及物理方程 物理方程的另外一种表达形式 其中 7 14 7 4几何方程及物理方程 小结 对于空间问题 们有15个未知函数 6个应力分量 6个应变分量3个位移分量 15个未知函数在弹性体区域内应该满足15个独立的基本方程 3个平衡微分方程 6个几何方程 6个物理方程 此外还要满足位移边界条件和应力边界条件 7 5轴对称问题的基本方程 7 5轴对称问题的基本方程 轴对称问题 在空间问题中 如果弹性体的几何形状 约束情况 以及所受的外力作用 都是对称于某一轴 通过这个轴的任一平面都是对称面 则所有的应力 变形和位移也就对称于这一轴 轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间 在轴对称问题中 应力 应变 位移等分量都只是径向坐标的函数 与无关 位移分量 应力分量 应变分量 7 5轴对称问题的基本方程 问题描述 图7 4 1 如图7 4 1 在圆柱 圆筒或半空间 取出一个微元PABC建立如图所示的坐标系 直角坐标和柱坐标 7 5轴对称问题的基本方程 分析面上的应力情况 如图7 4 2和7 4 3所示 由得 图7 4 2 图7 4 3 7 5轴对称问题的基本方程 化简 并略去微量 将六面体的受力投影到z轴上得到另外一个平衡方程 化简 并略去微量 7 5轴对称问题的基本方程 空间轴对称问题的平衡微分方程 7 15 7 5轴对称问题的基本方程 空间轴对称问题的几何方程 通过 2 4和 4 2中同样的分析 由径向位移引起的变形 由轴向位移引起的变形 将两组应变叠加 得到空间轴对称问题的几何方程 7 16 7 5轴对称问题的基本方程 空间轴对称问题的物理方程 胡克定律 7 17 7 5轴对称问题的基