实验四 插值法.doc

实验四、插值法插值法是函数逼近的一种重要方法，它是数值积分、微分方程数值解等数值计算的基础与工具，其中多项式插值是最常用和最基本的方法。拉格朗日插值多项式的优点是表达式简单明确，形式对称，便于记忆，它的缺点是如果想要增加插值节点，公式必须整个改变，这就增加了计算工作量。而牛顿插值多项式对此做了改进，当增加一个节点时只需在原牛顿插值多项式基础上增加一项，此时原有的项无需改变，从而达到节省计算次数、节约存储单元、应用较少节点达到应有精度的目的。一、实验目的1、理解插值的基本概念，掌握各种插值方法，包括拉格朗日插值和牛顿插值等，注意其不同特点；2、通过实验进一步理解并掌握各种插值的基本算法。二、Matlab命令和程序 命令 poly：创建一个向量，其分量为一个多项式的系数，该多项式具有给定的根。 命令polyval:求多项式的值， 命令 conv: 创建一个向量，其分量为一个多项式的系数，该多项式是另外两个多项式的积 polyval(C,2) P=poly(2)P=1 -2 Q=poly(3)Q=1 -3 conv(P,Q)ans= 1 -5 6 polyval(P,2)ans= 01、拉格朗日插值( 基于N+1个点 ，计算拉格朗日多项式)function C,L=lagran(X,Y)%input -X is a vector that contains a list of abscissas% Y is a vector that contains a list of ordinates%output-C is a matrix that contains the coefficient of the lagrane% interplatory polynomial% - L is a matrix that contains the Lagrange coefficent polynomialsw=length(X);n=w-1;L=zeros(w,w);%Form the Lagrange coefficient polynomialsfor k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k=j V=conv(V,poly(X(j)/(X(k)-X(j); end end L(k,:)=V;end%Determine the coefficiants of the Lagrange interpolating polynomialC=Y*L;2、牛顿插值function C,D,Newton=newpoly(X,Y,p)%Input -X is a vector that contains a list of abscissas% -Y is a vector that contains a list of ordinates% -p is the %Output -C is a vector that contains the coefficents of % the Newton interpolatory polynomia% -D is the divided-difference table% -Newton is the value of Newton interplatory polynomia in pn=length(X);D=zeros(n,n);D(:,1)=Y;%Use formula to form the divided-difference tablefor j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1)/(X(k)-X(k-j+1); endend%Determine the coefficient fo the newton interpolating polynomialC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k); m=length(C); C(m)=C(m)+D(k,k);End%Determine the value of the newton interpolating polynomial at pNewton=D(n,n);for k=(n-1):-1:1 Newton=Newton*(p-X(k)+D(k,k);End三、实验任务1、 已知函数表 0.56160 0.56280 0.56401 0.56521 0.82741 0.82659 0.82577 0.82495用二次拉格朗日插值多项式求时的函数近似值。解：题目要求我们做二次拉格朗日插值多项式，选取三组数字，选最接近x=0.5635的三个数字为 0.56280 0.56401 0.56521 0.82659 0.82577 0.82495在MATLAB中输入程序： X= 0.56160 0.56280 0.56401 0.56521; Y= 0.82741 0.82659 0.82577 0.82495; C,L=lagran(X,Y)C = 1.0e+03 * -1.2982 2.1943 -1.2370 0.2334L = 1.0e+08 * -0.9578 1.6207 -0.9141 0.1718 2.8577 -4.8319 2.7233 -0.5116 -2.8577 4.8284 -2.7194 0.5105 0.9578 -1.6172 0.9102 -0.1708 polyval(C,0.5635)ans =0.82612、 已知函数表 1 3 2 1 2 -1用牛顿插值多项式求和解：在命令窗口输入：X=1 3 2; Y=1 2 -1; p=1.5; C,D,Newton=newpoly(X,Y,p)C = 2.5000 -9.5000 8.0000D = 1.0000 0 0 2.0000 0.5000 0 -1.0000 3.0000 2.5000Newton =