第九章拉普拉斯变换ppt课件

第九章拉普拉斯变换TheLaplaceTransform 掌握拉氏变换定义及其基本性质 牢记常用典型信号的拉氏变换 掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法 掌握系统的典型表示方法 H s h t 微分方程 模拟框图 信号流图 零极点 收敛域图 以及它们之间的转换 掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法 能应用拉氏变换分析具体电路 9 0引言Introduction 连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的复数平面 简称为S平面或连续时间复频域 s域 S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集 S平面 S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信号集 9 1拉氏变换TheLaplaceTransform 一个信号x t 的拉氏变换定义如下 记作 或 几个典型信号的拉氏变换 拉普拉斯变换的收敛域与零极点 收敛域 RegionofConvergence ROC 一般把使积分收敛的s值的范围称之为拉普拉斯变换的收敛域 简记为ROC 零极点 PolesandZerosofX s 只要x t 是实指数或复指数信号的线性组合 X s 就一定是有理的 具有如下形式 N s 和D s 分别为分子多项式和分母多项式 使N s 0的根为X s 的零点 在s平面上用 o 表示 使D s 0的根为X s 的极点 在s平面上用 表示 例 请问 x t 的傅立叶变换存在吗 9 2拉氏变换收敛域的性质 TheRegionofConvergenceforLaplaceTransform 性质1 拉氏变换收敛域的形状 X s 的ROC在s平面内由平行于j 轴的带状区域所组成 性质2 对有理拉氏变换来说 ROC内不包括任何极点 性质3 如果x t 是有限持续期 并且是绝对可积的 那么ROC就是整个s平面 性质4 如果x t 是右边信号 而且如果这条线位于ROC内 那么的全部s值都一定在ROC内 Re s 性质5 如果x t 是左边信号 而且如果这条线位于ROC内 那么的全部s值都一定在ROC内 性质6 如果x t 是双边信号 而且如果这条线位于ROC内 那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成 直线位于带中 性质7 如果x t 的拉氏变换X s 是有理的 那么它的ROC是被极点所界定或延伸到无限远 性质8 如果x t 的拉氏变换X s 是有理的 若x t 是右边信号 则其ROC在s平面上位于最右边极点的右边 若x t 是左边信号 则其ROC在s平面上位于最左边极点的左边 例 求其可能有的所有的收敛域 例 已知一绝对可积的信号x t 有一个极点在s 2 回答以下问题 a x t 可能是有限持续期吗 b x t 是左边的吗 c x t 是右边的吗 d x t 是双边的吗 答案 b d 可能 有限长时间信号 整个S平面 左边时间信号 某一左半平面 右边时间信号 某一右边平面 双边时间信号 某一带状收敛区域 例 有多少个信号在其收敛域内都有如下所示的拉氏变换 例 求其拉氏变换X s 并画零极点图以及收敛域 解 9 3拉氏反变换TheInverseLaplaceTransform 信号x t 的拉氏变换为 利用傅立叶反变换 即可从拉氏变换中恢复x t 两边同乘以 拉氏反变换公式表明 原函数x t 可以由它们的像函数X s 乘以复指数信号est后积分求得 拉氏反变换公式的积分路径是 收敛域内平行于虚轴的一条自下而上的直线 一 求解拉氏反变换的方法 1 留数定理 2 由一些熟知的拉氏变换对 利用性质 求得未知的拉氏变换 或它们的反变换 3 对于有理形式拉氏变换 最常用的是部分分式展开法 二 部分分式展开法求解拉氏反变换 思路 单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的有理函数 其收敛域也是单纯的 单边实指数和复指数线性组合而成的信号 它们的拉氏变换一定是有理函数 其收敛域是每一项复指数分量相应的收敛域的交集 部分分式展开的第一步是把分母D s 进行因式分解 然后区分极点的类型 选择求取待定系数的方法 一 假设信号x t 的拉氏变换X s 没有多阶极点 且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次 有理真分式 其中 例 对X s 进行部分分式展开 X s 的零极点图和ROC如图所示 分别对应什么时间信号 例 对X s 进行部分分式展开 X s 的零极点图和ROC如图所示 设 对X s 进行部分分式展开 X s 的零极点图和ROC如图所示 例 求x t 解 先转换为真分式 故 例 已知 求x t 将X s 进行部分分式展开 二 二阶和高阶极点 当N s 0有r重根 其余为单根的分解式为 例 已知 求x t 将X s 进行部分分式展开 故 则 9 4由零极点图对傅立叶变换进行几何求值 目的 揭示信号和系统的复频域表示与其频域特性间的关系 对于系统函数是有理函数的因果稳定LTI系统 其收敛域包括s平面虚轴 那么系统的频率响应H j 如果有理系统函数H s 表示为 分别为零点和极点 这类因果稳定LTI系统的频率响应为 零点指向点j 的向量为零点向量 记作 极点指向点j 的向量为极点向量 记作 幅频响应H j 例 求其幅频特性与性与相频特性曲线 例 根据零级点图 利用傅立叶变换的几何求值方法 确定以下拉普拉斯变换的模特性近似为低通 高通或者带通 9 5拉氏变换的性质 一 线性 则 ROC但有时候会扩大 例 已知 求 X s 解 二 时移性质 例 求 X s 解 三 S域平移 例 求 X s 解 已知 则 同理 四 时域尺度变换 五 共轭 注 若x t 为实函数 如果X s 有一个极点或零点为复数在s s0处 那么X s 也一定有一个复数共轭的极点或零点 且对于X s 的部分分式展开式中的系数也互为共轭 六 卷积性质 那么 七 时域微分 但ROC有可能扩大 八 s域微分 九 时域积分 例 求 的拉氏变换 解 故 推广 及 故 例 关于一个拉氏变换为X s 的实信号x t 给出下列条件 1 X s 只有两个极点 2 X s 在有限s平面没有零点 3 X s 有一个极点在 1 j 4 e2tx t 不是绝对可积 5 X 0 8 求X s 解 由 1 由 2 由 3 由 4 不含j 轴 由 5 得 十 初值和终值定理 则 若t 0 x t 0且在t 0不包括任何冲激或高阶奇异函数 则 sX s 的收敛域一定要包含j 轴 例 求该信号的终值 解 当a 0时 收敛域包括j 故 解 当a 0时 收敛域不包括j 故 不存在 9 6常用拉氏变换对 P442表9 2 9 7用拉氏变换分析与表征LTI系统 利用卷积性质 有 H s 为系统函数或转移函数 一 因果性 一个因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面 对于一个具有有理系统函数的系统来说 系统的因果性就等效于ROC位于最右边极点的右边的右半平面 例有一系统 其单位冲激响应为 其系统函数和ROC为 系统函数是有理的 ROC是右半平面 所以系统是因果的 例考虑下面系统函数 请问该系统是因果的吗 例有一系统 其单位冲激响应为 其系统函数和ROC为 ROC不是右半平面 不是因果的 二 稳定性 定理一 当且仅当系统函数H s 的ROC包括j 轴 即 Re s 0 时 一个LTI系统就是稳定的 系统稳定 h t 绝对可积 H j 收敛 H s 收敛域包含j 轴 输入有界输出有界 例 考虑一LTI系统 系统函数 因果 不稳定系统 非因果 稳定系统 反因果 不稳定系统 定理二 一个具有有理系统函数H s 的因果LTI系统 当且仅当系统函数H s 的全部极点都位于s平面的左半平面时 也即全部极点都有负的实部时 该系统才是稳定的 例 收敛域包括虚轴 故该系统是稳定的 例 已知一因果LTI系统的系统函数如下 问 讨论该系统的稳定性 解 该系统的零极点图为 收敛域不包括虚轴 故该系统是不稳定的 由于是因果系统 则其收敛域为 三 由线性常系数微分方程表征的LTI系统 例 已知一因果LTI系统 其微分方程为 求 1 系统函数H s 2 若输入信号x t 为e tu t 求y t 3 若输入信号x t 为e2t 求y t 解 1 2 3 根据特征函数特征值的概念 9 8系统函数的方框图与信流图表示 一 LTI系统互联的系统函数 反馈互联 二 微分方程 有理系统函数 因果LTI系统的方框图表示 系统的信号流图表示对于比较大的系统 如果用方框图的方式就比较麻烦 而由上面的讨论可知 一个系统的特性完全由其子系统的系统函数以及各个子系统之间的连接方式所决定 因此可以将方框图简化 用系统的信号流图来表示 信号流图中的一些术语 节点 表示系统中变量或信号的点 X s Y s x1 x2 源点 只有输出支路的节点 其对应的是输入信号 阱点 只有输入支路的节点 其对应的是输出信号 支路 连接两个节点之间的定向线段 支路的增益即为其转移函数 转移函数 两个节点之间的增益 b0 b1 通路 沿支路箭头方向通过各相连支路的途径 注意 不允许有相反方向支路存在 前向通路 从源点到阱点方向的通路上 通过任何节点不多余一次的全部路径 闭合通路 通路的终点为通路的起点 且与任何其它节点相交不多于一次 又称为环路 前向通路增益 前向通路中 各支路转移函数的乘积 环路增益 环路中各支路转移函数的乘积 不接触环路 两环路之间无任何公共之路与节点 信号流图的性质 1 信号只能沿着支路上的箭头方向通过 2 节点可以将所有输入支路的信号叠加 并把总和信号传送到所有输出支路 3 给定的系统 其流图形式不唯一 4 流图转置后 其转移函数保持不变 信号流图的简化 梅逊公式 gk 表示由源点到阱点之间第k条前向通路的增益 k 称为对于第k条前向通路特征行列式的余因子 是除去与第k条前向通路相接触的环路外 余下的子图行列式 其中 称为流图的特征行列式 k 表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号 例 例 例 有一因果系统的微分方程为 求 1 系统函数H s 2 画出信流图 例 一个LTI系统 其系统函数为 当x t e tu t 时 y t e t e 2t u t 1 求出具有这一特性的系统函数H s 做零极点图 标收敛域 并判定因果性 稳定性 2 求该系统的单位冲激响应h t 3 求出描述该系统的数学模型 常系数微分方程 4 画出该系统的信号流程图与方框图 5 若输入x t e2t 求输出y t 解 1 因果性 该系统的收敛域位于最右边极点的右边 且系统函数为有理函数 故其是因果的 稳定性 该系统的收敛域包括虚轴 j 轴 故是稳定的 4 方框图与信流图 5 若输入信号为e2t 则响应为 2 3 单位冲激响应 微分方程 一 定义 根据时间变量t取值范围的不同 拉氏变换有双边拉氏变换和单边拉氏变换之分 如果t的取值范围是从 到 则称为双边拉氏变换 如果t的取值范围是从0 到 则称为单边拉氏变换 其定义式为 9 9单边拉普拉斯变换 单边拉氏变换的重要价值在于求解非零状态下的系统响应 双边拉氏变换和单边拉氏变换的主要差别在于收敛域的不同 因此 对于单边拉氏变换 常常不标出它的收敛域 此外 在某些性质上两者之间也略有差异 单边拉氏变换的收敛域只有两种可能 要么在最右边极点右边的s平面 要么是整个s平面 例考虑信号x t 这个信号的双边拉氏变换为 这个信号的单边拉氏变换为 对于在t 0 具有相同函数表达式 而在t 0 时却并不相同的任何信号 都有完全一样的单边拉氏变换 但他们的双边拉氏变换却各不相同 对于任何因果时间函数 单边拉氏变换起到了双边拉氏变换相同的作用 二 性质 P517表9 3 单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质 时域微分 单边拉氏变换的时域微分性质 例 已知一系统的微分方程为 求分别输入 时的输出y t 解 解 1 对方程两边同时进行单边拉氏变换 当元件初始储能为零时 三 应用拉氏变换分析电路 例 在图所示电路中加入一个单位阶跃电压u t 求输出电压vR t 的初值vR 0 和终值vR 解 利用初值定理 利用终值定理 Example 已知因果电路LTI系统的电路图如图所示 其中 1 画出电路的复频域模型 并求系统函数 2 求系统的频率响应函数 并判断系统的幅频特性近似为哪种滤波器 解 2 则 且随着 的增加 即系统为高通滤