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文档简介
幂函数 学习目标 1 掌握幂函数的概念 熟悉时 幂函数的图像和性质 2 能利用幂函数的性质来解决一些实际问题3 通过对情景的观察 思考 归纳 总结形成结论 培养发现问题 解决问题的能力 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 难点 画五个幂函数的图象并由图象概括其性质 问题1 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克 那么她需要付的钱数y 元 和购买的蔬菜量x 千克 之间有何关系 问题2 如果正方形的边长为x 那么正方形面积y 问题3 如果正方体的棱长为x 那么正方体体积y 问题4 如果正方形场地的面积为x 那么正方形的边长y 问题5 如果某人x秒内骑车行进1千米 那么他骑车的平均速度y 千米 秒 问题情境 以上问题中的函数有什么共同特征 1 都是函数 2 均是以自变量为底的幂 3 指数为常数 4 自变量前的系数为1 上述问题中涉及的函数 都是形如y x 的函数 定义 几点说明 一 一般地 函数叫做幂函数 其中x为自变量 为常数 幂函数与指数函数的对比 底数 指数 指数 底数 幂值 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数 幂函数 指数函数 判断下列函数是否为幂函数 1 y x4 3 y xe 5 y 2x2 6 y x3 2 判一判 对于幂函数 我们只讨论 1 2 3 1情形 幂函数性质的探究 探究1 结合前面研究指数函数与对数函数的方法 我们应如何研究幂函数呢 作具体幂函数的图象 观察图象特征 总结函数性质 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 x y x y 二 我们重点研究 对于我们较熟悉的这三类函数的图象只需找关键点来作图 o o 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 3 4 6 1 0 1 2 0 描点法作图 1 1 0 1 0 1 R R R 0 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 0 0 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 R 在第一象限内 a 0 在 0 上为增函数 a 0 在 0 上为减函数 幂函数的图象都通过点 1 1 为奇数时 幂函数为奇函数 为偶数时 幂函数为偶函数 幂函数在 0 都有定义 1 所有的幂函数图象恒过点 1 1 幂函数的性质 5 图像不过第四象限 2 在第一象限内递增 若 在第一象限内递减 3 当为奇数时 幂函数为奇函数 当为偶数时 幂函数为偶函数 4 1时 图象下凸 当0 1时 图象上凸 6 第一象限内 当x 1时 越大图象越高 在 0 为单调增函数 慢增 在 0 为单调增函数 快增 在 0 为单调减函数 慢减 都经过定点 1 1 求函数解析式 已知函数是幂函数 并且是偶函数 求m的值 练习1 幂函数解析式的求解 总结 x y o o x o x y o x y x y o 幂函数的图像 下列是y x的图象的是 练习 幂函数的图象先画第一象限 然后根据奇偶性和定义域画其它象限 指数大于1 在第一象限为抛物线型 凹 指数等于1 在第一象限为上升的射线 指数大于0小于1 在第一象限为抛物线型 凸 指数等于0 在第一象限为水平的射线 指数小于0 在第一象限为双曲线型 例3 比较下列各题中两数值的大小 1 73 1 83 0 8 1 0 9 1 幂函数y x 1在 0 上是单调减函数 解 幂函数y x3在R上是单调增函数 又 1 7 1 8 1 73 1 83 又 0 8 0 9 0 8 1 0 9 1 拓展 比较下列两个代数式值的大小 解 1 考察幂函数在区间 0 上单调增函数 因为所以 2 考察幂函数在区间 0 上是单调减函数 因为所以 设a 0 20 3 b 0 30 3 c 0 30 2 则 A a b cB a b cC a c bD b a c 练习 分析 比较a b的大小 需利用幂函数y x0 3的单调性 比较b c的大小 需利用指数函数y 0 3x的单调性 B 总结 幂函数值大小的比较 1 比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性 当不便于利用单调性时 可与0和1进行比较 常称为 搭桥 法 2 比较幂函数值的大小 一般先构造幂函数并明确其单调性 然后由单调性判断值的大小 3 常用的步骤是 构造幂函数 比较底的大小 由单调性确定函数值的大小 证明幂函数在 0 上是增函数 例4 用定义证明函数的单调性的步骤 1 取数 设x1 x2是某个区间上任意二值 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 变形 4 判断f x1 f x2 的符号 5 下结论 证明 任取x1 x2 0 且x1 x2 则 注意 若给出的函数是有根号的式子 往往采用有理化的方式 幂函数的综合应用 1 幂函数的定义 形如y x 的函数叫幂函数 以自变量x为底数 指数为常数 自变量x前的系数为1 只有一项 2 与指数函数的区别 看未知数x是指数还是底数若x是指数 则它是指数函数 如y 2x若x是底数 则它是幂函数 如y x23 幂函数定义的应用 判断哪些函数是幂函数 根据幂函数的
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