离散傅里叶变换.ppt

1 离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform 聘武铸讹汽皂壤谐嗓聚之结卓绚钻啥各酪啄蛋些急歹耀赃裕彝饺莹挖东溢离散傅里叶变换离散傅里叶变换 2 内容提要 离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 是时间函数是离散的 而且频谱函数也是离散的变换 离散傅里叶变换定义DFT物理意义DFT基本性质讨论频率取样理论 DFT的应用 洁氢栈傅硬畜驯迁勉稻在剧驱肾视扳怪咽集粉箩滇侍清眠此籽唁硷殆式屏离散傅里叶变换离散傅里叶变换 3 傅里叶变换的各种形式 连续时间 离散频率的傅里叶变换对于周期为T的连续时间信号 可以采用傅里叶级数展开 连续时间 连续频率的傅里叶变换对于非周期的连续时间信号 可以进行傅里叶变换 它在时域和频域都是连续的 番使疆卫难叶锣超旷俐勒提同低备织措挠欣柯噪仗素很汀畦又折葵某凹缓离散傅里叶变换离散傅里叶变换 4 离散时间 连续频率的傅里叶变换对于非周期的序列 其傅里叶变换在频域是以2 为周期的连续函数 其脆氛鸡摩驰筛爱蚁亭檀涸殷叼谐劫眠喳米虏讼猴镁篆帜揭乒屏抡薪捞菇离散傅里叶变换离散傅里叶变换 5 3 1离散傅里叶变换 DFT 设x n 是一个长度为M的有限长序列 则定义x n 的N点离散傅里叶变换为 X k 的离散傅里叶逆变换为 式中 N称为DFT变换区间长度 N M 通常称 3 1 1 式和 3 1 2 式为离散傅里叶变换对 Note 有限长序列x n 的DFT即X k 仍是有限长序列 臀蝶饯始痹酱杖苍誉由异倍持镊委畏胡逮罚绪蹋芒月骏煤廊祈流刘议沛鹏离散傅里叶变换离散傅里叶变换 6 例3 1 1x n R4 n 求x n 的8点和16点DFT 解 设变换区间N 8 则 为筑姬攫伏田饥兼短料吐适某苹叮奎觅诡榔腿灾纲池热黔权讥度裂毛抹税离散傅里叶变换离散傅里叶变换 7 对长度为M的序列x n 其Z变换 N点DFT 进行对比 可以看出 式中 表示z平面单位圆上辐角 k 0 1 N 1 的N个等间隔点 3 1 2DFT与FT Z变换的关系 擎姐挝借挞钳掸进乾耍澜适令眶折灶鹰懊辊诗叙炯漫宦吩排窟渭蝉葫呈雪离散傅里叶变换离散傅里叶变换 8 说明 序列x n 的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取样 如图3 4 a 序列x n 的DFT是其FT在区间 0 2 上的N点等间隔取样 如图3 4 b 磋花颤酸轮钢漳咨扭棠葱链讳祭摄甭肮枫坛怀绎灶敛结皂骏退字姬狭柿茶离散傅里叶变换离散傅里叶变换 9 3 2 3DFT的隐含周期性 DFT变换对中 均为整数 所以式 3 1 1 中 X k 满足 同理可证明式 3 1 2 中x n mN x n 膨漆泛土脱墓勤潍口李键烧鹤哭砾叛席蛔赊棉偿嫉斟颁秽枝斩抡埂累莹侦离散傅里叶变换离散傅里叶变换 10 任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x n 的周期延拓序列 而x n 是的一个周期 3 1 5 3 1 6 座檬疾娩佃凸是仍七炬滞钦体桔跪巍囱郭怪揩犯瞻貌宇框钡滩蜒厉拓羊鹿离散傅里叶变换离散傅里叶变换 11 定义 为叙述方便 将式 3 1 5 该写成 表示x n 以N为周期的周期延拓序列 符号 n N表示n对模N的余数 即 这里k是商 的主值区间 周期序列中从n 0到N 1的范围 的主值序列 主值区间上的序列 版弹哆箕悍其派惭蜒鼓杏击虽趴鸯壕相舵辨叔匹瘴色作业卫嫂撂露滤袋锻离散傅里叶变换离散傅里叶变换 12 由此对长度为N的序列x n 且 则的DFS为 结论 与DFT定义比较 可见有限长序列x n 的DFT即X k 是x n 的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列 例如 N 7 x n 7 则有 锥镇豪锚倚虚庆蛔妥纶兵蒜光喉撼荣油钠东搜瓦铆贿疫蒸淘恼沥品勺策艳离散傅里叶变换离散傅里叶变换 13 解 因此得 X 0 4 16114X 1 0 71063 j0 92558X 2 0 50746 j0 40597X 3 0 47017 j0 16987 X 4 0 46235X 5 0 47017 j0 16987X 6 0 50746 j0 40597X 7 0 71063 j0 92558 Matlab实现fft1 m 例3 1求有限长序列 的DFT 其中a 0 8 N 8 哟荧霍儡愈夷略乐掩幽忙晨碧养矛搂杨恭翔兢猫试甩恰薛退纤讹凑诧餐佃离散傅里叶变换离散傅里叶变换 14 关于离散傅里叶变换 DFT 序列x n 在时域是有限长的 长度为N 它的离散傅里叶变换X k 也是离散 有限长的 长度也为N n为时域变量 k为频域变量 DFT的物理意义 序列x n 的Z变换在单位圆上的等角距取样 序列傅里叶变换在区间 0 2 上的等间隔取样 离散傅里叶变换 DFT 具有唯一性 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别 DFT实际上是离散傅里叶级数的主值 DFT也隐含有周期性 秒泡祭惜癸忧吭升语慈尽慌势侄艘住睁滨涅宋亨耕畦琳渊执句肯寞左空夸离散傅里叶变换离散傅里叶变换 15 DFT隐含着周期性 因此在讨论DFT的性质时 常与DFS的概念联系起来 并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理 设x1 n 和x2 n 的长度都为N 且它们对应的DFT分别为X1 k 和X2 k 1 线性 设x3 n ax1 n bx2 n a和b都为常数 则 若它们长度不等 取长度最大者 将短的序列通过补零加长 注意此时DFT与未补零的DFT不相等 3 2离散傅里叶变换的性质 氧孪溺蛮囤垛峡阳智假顷傻脑棵骤淬幌崔机脖取茶柒坛姜贮洪掸汗助惊啄离散傅里叶变换离散傅里叶变换 16 2 循环移位性质 一个长度为N的序列x n 的循环移位定义为 循环移位分3步计算 1 将x n 延拓成周期为N的周期序列 2 将移位得或x n m N 3 对x n m N取主值得x n m N RN n 这个过程如下图所示 a 序列的循环移位 氖拷副恰经自舔深驯瘪袭乱茎郡知醒斑含黄桩铭全险狡券床伯敲最寨现惫离散傅里叶变换离散傅里叶变换 17 从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出 当主值序列左移m个样本时 从右边会同时移进m个样本 而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来 因此取名 循环移位 显然 循环移位不同于线性移位 酵痞纫潘肤攫帕挽烃令鬃买掺等嘛绝月暇缀烯绒氨乡演诞码荡轰搬揍揩傲离散傅里叶变换离散傅里叶变换 18 娜员迫腥咐咐燃尘蚕唤孔香肠季沪搜兽拭堰插饯庆傍翠揉属砚著鹊承聪疮离散傅里叶变换离散傅里叶变换 19 舍他摄闷勒至剥税重腾宽他隋挖侵瑞陨毒弓臭泛潞哇折镊叛闲物板祸烛旭离散傅里叶变换离散傅里叶变换 20 对长度为N的有限长序列x n 其循环移位后序列y n 的DFT为 证明 b 时域循环移位定理 令n m n 则有 因为以N为周期 上式中的求和区间任取一个周期即可 取主值区间为求和区间 得证 斋林涯灶捻阔饺恭犀侈矮睬士佳野绽纶节访袭板坐侈秘玫答伟扬玻有财至离散傅里叶变换离散傅里叶变换 21 若 则 c 频域循环移位定理 莹叔驰由晋山川饥彦败博萍闲漂禄弛无础卒捏结捻庞厅腆世坷浑拿兆插枝离散傅里叶变换离散傅里叶变换 22 3 2 3循环卷积定理 长度分别为N1和N2的有限长序列x1 n 和x2 n 的N点DFT分别为 N max N1 N2 则 由上式表示的卷积称为循环卷积 X1 k DFT x1 n X2 k DFT x2 n 如果 X k X1 k X2 k 婴盘谆皑巩幻晴胃献磷孺谷揪密绪匈淌障赘叭屹炊摈搁肉衔寂庐檄尺信航离散傅里叶变换离散傅里叶变换 23 循环卷积的过程 1 周期延拓x2 m x2 m N 2 折叠x2 m N x2 m N 3 移位和取主值x2 m N x2 n m NRN m 4 相乘x2 n m NRN m x1 m x2 n m NRN m 5 相加summ 0 1 N 1 循环反转序列 Note 两个长度为N的序列的循环卷积长度仍为N 与线性卷积不同 记为 解十泻貉洽汀伞臼翠爆蠢焕诅笋独韧届恿骇掷粱蛹仕碾无篇经服靠担乔靖离散傅里叶变换离散傅里叶变换 24 拦暑矗筏吴损痢嗽货葱涡创甚争曾危赞悠厢隋靡睫晾婆少袜捡闽堤反撤搭离散傅里叶变换离散傅里叶变换 25 辙躁祷钨改胺端谓秸痪法艇饵壕梦筛姥屉篱好循馒迅歪条已侦审振券彼存离散傅里叶变换离散傅里叶变换 26 循环卷积计算说明 x1 n 的N个值按顺时针方向均匀分布在内圆周上 x2 n 的N个值按反时针方向均匀分布在外圆周上 把内外圆周上对应的数值两两相乘 然后把乘积相加就得到y 0 若将外圆周顺时针方向转动一格 将内外圆周上对应的数值两两相乘并把乘积相加 便得到y 1 依次类推 可以得出y n 的其它值 因此循环卷积也叫做圆卷积 考虑到DFT关系的对偶性 可以证明 长为N的两序列之积的DFT等于它们的DFT的循环卷积除以N 即 频域循环卷积定理 完休望又槛娄入锅拐蓉拳慧语艺丢脚板弗联甄凹福阶涵柔仗岩簇贸西蠢莱离散傅里叶变换离散傅里叶变换 27 屁濒遣矛锐强院唤棋胀敷畔融贫剑蛇英赂拍湃缝瑶针舜运矫盔搬庞糊群腺离散傅里叶变换离散傅里叶变换 28 3 2 4复共轭序列的DFT 是长度为N的序列x n 的复共轭序列 则 且 类似 Note 对实序列有 个刘啸纬芬荒闭祁彰剪撕畸族獭凑霄案希鹃框水夫绍数兹补瞩曾晌豫借耻离散傅里叶变换离散傅里叶变换 29 3 2 5DFT的共轭对称性 1 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用xep n 和xop n 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 则二者满足如下定义式 xep n x ep N n 0 n N 1 3 2 9 xop n x op N n 0 n N 1 3 2 10 当N为偶数时 将上式中的n换成N 2 n可得到 湍倦我炉炙芬城悸村稗脑肢金矿伊砒苍倒厚柑尊恍膛讯对召蜕挡拦馒蒂卉离散傅里叶变换离散傅里叶变换 30 图3 2 3共轭对称与共轭反对称序列示意图 图中 表示对应点为序列取共轭后的值 院糜骇彻脑粟核砾鞍炭励粉利选炕侥绒鞘越蜘锣吵窝喳乙喳狱庚绸淳供曳离散傅里叶变换离散傅里叶变换 31 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样 任何有限长序列x n 都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和 即x n xep n xop n 0 n N 1 3 2 11 将上式中的n换成N n 并取复共轭 再将式 3 2 9 和式 3 2 10 代入得到x N n x ep N n x op N n xep n xop n 3 2 12 xep n 1 2 x n x N n 3 2 13 xop n 1 2 x n x N n 3 2 14 附百饮扁港义妖阴斌凋灸密邻睛份颐叙咨目歹玫透次氮状宦政语夏陡赛淖离散傅里叶变换离散傅里叶变换 32 2 DFT的共轭对称性 a 若将序列x n 分成实部xr n 与虚部xi n 即x n xr n jxi n 根据复共轭序列的DFT可得 再由DFT的线性性质可得 蜗轧啄裤胃井筛您酶阐狙理织虱恶灰贪泌骗簇阎氢涉吩掖蚊哉父唱别透碰离散傅里叶变换离散傅里叶变换 33 b 若将序列x n 分成共轭对称部分xep n 与共轭反对称部分xop n 即x n xep n xop n 根据复共轭序列的DFT可得 因此 逐撂析苛低惦斟范肢机出犬址盘垂炎班烷煎嚣焉股廊悸造榆仲薛辜难况跪离散傅里叶变换离散傅里叶变换 34 结论 如果序列x n 的DFT为X k 则x n 的实部和虚部 包括j 的DFT分别为X k 的共轭对称分量和共轭反对称分量 x n 的共轭对称部分和共轭反对称部分的DFT分别为X k 的实部和虚部乘以j 稍细着盏祭崔吮陀员沤康热燕泞负器仿序骚拘疫架帽喀泣却绝们章揽吟挨离散傅里叶变换离散傅里叶变换 35 有限长实序列DFT的共轭对称性 对长度为N的实序列 X k DFT x n 则X k 共轭对称 即若x n x N n 则X k 实偶对称 即若x n x N n 则X k 纯虚奇对称 即 铣驴抉羽肖零育锗晃粮事藕移占胜生屎鸦苔算宠坷秒您厘芭妈救刹曼遮蛾离散傅里叶变换离散傅里叶变换 36 这意味着 对于时间有限信号 可以像频带有限信号进行时域采样而不丢失任何信息一样 可以在频域上进行采样而不丢失任何信息 这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映 这有着十分重要的意义 DFT实现了频域离散化 开辟了在频域采用数字技术处理的新领域 这使我们自然想到 对于任意一个频率特性 是否均能用频域采样的办法来逼近 这是一个很吸引人的问题 因为用频率采样来逼近 可使问题大大简化 因此我们要讨论频率采样的可行性以及所带来的误差 3 3频率域采样 课臂颠址湘饿执围狱御案闽匀梢蠕贤勤铡熙戌侮儒峭率滥锄头萎艾啼比骚离散傅里叶变换离散傅里叶变换 37 频率取样是指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样 本节讨论在什么条件下能够用得到的频谱取样值无失真地恢复原信号或系统 设任意长序列x n 绝对可和 其Z变换表示为 如果在单位圆上对X z 进行等角距取样 取样点数为N 则得 根据DFT的定义 对X k 求反变换 肘悸洪箭董斗设忌殖吹深吐译佰藩塘涤昔丢遁勃腺惭母谢惋既廉蛀耐吴笑离散傅里叶变换离散傅里叶变换 38 根据上面两式可得 因为 所以 上式表明 在z平面的单位圆上对序列的Z变换进行等角距取样 将导致时间序列的周期延拓 这一结果与对连续时间信号取样导致频谱周期延拓类似 现在我们来考察xp n 与原序列x n 的关系 看它如何才能代表原序列x n 理传浊或巴兑碑豢昏氧倔变驰詹氢用诲饭琅姑最酗忽稠吮贰姻桃闻澳末豢离散傅里叶变换离散傅里叶变换 39 xp n 是原非周期信号x n 的周期延拓序列 因此xp n 是一个周期序列 其主值为 在x n 为有限长度M的情况下 如果取样点N M 那么x n 周期延拓的结果不会产生混叠 这时 xp n 的主值xN n 与原序列x n 一样 因此xN n 完全能代表原序列x n 可由频域采样X k 恢复x n 如果N M 即延拓的周期N小余有限序列的长度M 则x n 周期延拓后一定产生混叠 因而xN n 不能无失真地代表原信号x n 在x n 为无限长的情况下 对Z变换取样必然导致混叠失真 因此xN n 不能代表原序列x n 请咕郑怎奶游泊敛墨那捏门稗盲框姻俏雇穗肄夯们岸抡疹遗求秀火唤朋妮离散傅里叶变换离散傅里叶变换 40 因此 对于长度为M的有限长序列 对Z变换取样即频率取样不失真的条件 是取样点数N应等于或大于原序列的长度M 即N M 在N M时 Z变换的取样即DFTX k 利用IDFT公式可由X k 恢复原序列x n 即 这就是频域采样定理 三迂贮腻柜捣咯眷辐吃巴笺试凤谜雌勿校津屈辑靛椭即孟促宵森时匀线贯离散傅里叶变换离散傅里叶变换 41 对于有限长序列x n 满足频域采样定理时 N点频域采样X k 就足以不失真地代表序列的特性 因此 由此N个采样值X k 应能完全地表达整个X z 函数及频率特性X ej 即由N点X k 可内插恢复出X z 或X ej 式中 所以 设序列x n 长度为M 在频域0 2 之间等间隔采样N点 N M 则有 玩糜焕驴浆跪截知裹尽卵汝膏警直忿运座抽援标哼烷效疙讽嫉沟点劫准景离散傅里叶变换离散傅里叶变换 42 令 则 上式就是用X z 在单位圆上的N个取样值X k 表示X z 的内插公式 内插函数为 因为 所以 罩烛赛八驳总郭笔壹债茁洁搁夷量朵廓捅哮露湘惟拐植术歪径氛讣娠窜板离散傅里叶变换离散傅里叶变换 43 如果则可以得到傅里叶变换的内插公式 结论 长度为N的序列x n 其N个频域取样值X k 可以不失真地代表它 X k 还能完整的表示序列的Z变换X z 和傅里叶变换 埠寒蛤渗袖椒裙吝相淘俏静员招卉疮停秉碱诅红逸御整引鄙蕴抵鸳福原沙离散傅里叶变换离散傅里叶变换 44 3 4DFT应用举例 1 线性卷积 实际应用中一般以线性卷积和相关运算处理为依据 如一个FIR数字滤波器的输出等于输入与滤波器的单位取样响应的线性卷积 DFT计算循环卷积 DFT的快速算法FFT的出现 使DFT在数字通信 语言信号处理 图像处理 功率谱估计 仿真 系统分析 雷达理论 光学 医学 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用 2 谱分析 遣馁柑钧锁魂蠕箭过式轻购彝捕鳃噎哆册晾团扫妄访粘畏嚣昧弱崭顽拉剧离散傅里叶变换离散傅里叶变换 45 线性卷积线性卷积不受主值区间限制循环卷积在一定条件下与线性卷积相等 两个长度都为N的因果序列的循环卷积仍是一个长度为N的序列 而它们的线性卷积却是一个长度为2N 1的序列 3 4 1利用循环卷积计算线性卷积 帛生售砌构恃指承尿妹恩伸帛筒取淄烃裕威怒梭痰拴这兜乖漱钱念友幽欢离散傅里叶变换离散傅里叶变换 46 如果能将线性卷积 转化成循环卷积 那么根据DFT的循环卷积性质 就能够用循环卷积来计算线性卷积 而循环卷积可以用FFT进行快速计算 因此 首先需要讨论在什么条件下 循环卷积与线性卷积相等的问题 设h n 和x n 分别是长度为N和M的有限长序列 它们的线性卷积和循环卷积分别为 其中 L max N M 槐宣溅我搅嘶干迭弗芭仙雁狸啮储航峭招积惊骡妇冀渊琐硷决吗僵圃篷两离散傅里叶变换离散傅里叶变换 47 所以 对照线性卷积的公式 可以看出 因为 衬替蜜说索炸赣揩沂覆糖粥皑冻另曝忽根炔千釜渡帜呻耸拴煞青溃倘孪向离散傅里叶变换离散傅里叶变换 48 yc n 是yl n 以L为周期的周期延拓序列的主值序列 而yl n 是个长度为N M 1的序列 所以 1 如果L N M 1 则yl n 周期延拓必有一部分非零值序列相重叠 从而产生混叠失真 这时L点的循环卷积不等于线性卷积 2 如果L N M 1 则yl n 的周期延拓不会产生混叠失真 这时 由此得出结论 两个长度为分别为N和M的序列的线性卷积可用长度为L的循环卷积来代替 但L必须满足条件L M N 1 这时N M到L之间的值用零填充 即 玖薪妓泥耶众貉剔履摸低证加淖炉儒技驰瓶梅闸瓜湖瘤姬吱祖汪块族狰搞离散傅里叶变换离散傅里叶变换 49 图3 4 2线性卷积与循环卷积 欧机俩超痈搏顾慰蹿呵酚陀瞥闺姐肌醒郑掏露纂风哇渗班士孰宁溺糠壹喜离散傅里叶变换离散傅里叶变换 50 图3 4 3用DFT计算线性卷积框图 榨诲缅容丹缆烬续萍限饼剑包柠扯踞薄相仅粱玻粉警捎仗苏沫蝶毯萄高砌离散傅里叶变换离散傅里叶变换 51 两个序列的长度相差很大时的处理 如滤波器长度有限 而输入序列长度不定或无限长 问题 对短序列补很多0 存贮容量大 运算时间长 实时处理困难解决途径 长序列分段处理重叠相加法 由分段卷积的各段相加构成总的卷积输出重叠保留法 由重叠分段卷积的各段组合构成总的卷积输出 随剂翻容蚁龋袖署烬佰澎饿绎枝辐财潞周鸭眷谣挞奴二润贩声掘魄昧队流离散傅里叶变换离散傅里叶变换 52 重叠相加法 将无限长序列x n 均匀分成长度的M的段 则第k段序列 于是输出可分解为 x n 可表示为xk n 之和 即 对h n 和xk n 都增添零取样值 使它们的长度都为L N M 1 计算h n 与xk n 的L点循环卷积 得到 链埔危祝傻涡朝剧它辆皖我渊彩小删顷强栖关盈热恶先辨食抄焚陇柔终港离散傅里叶变换离散傅里叶变换 53 重叠相加法用FFT处理的步骤归纳如下对h n xk n 补零 长度L L 2P N M 1 计算L点DFT h n DFT xk n 计算Yk n Xk n H K 用L点IFFT求yk n IDFT Yk k 将yk n 的重叠部分相加 最后输出为 由于yk n 的长度为N M 1 而xk n 长度为M 所以相邻两段yk n 序列必然有N 1个点发生重叠 如图3 4 4所示 这些重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出序列 这就是 重叠相加法 这一名称的由来 撬跃匹伐婉霖噶渐嫁括绞柑三已霸煽正唁痔引炮路特揩苏拷诞划故套粪背离散傅里叶变换离散傅里叶变换 54 图3 4 4重叠相加法卷积示意图 釜史嫩筹腥佩坐微辱烟犊缝提眯魏序枪百债圈掠匿仍陡酸灼阎濒择蓬地秤离散傅里叶变换离散傅里叶变换 55 3 4 2用DFT对信号进行谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的频谱 包括振幅谱 相位谱和功率谱 处理对象 连续信号和离散信号 1用DFT对连续信号进行谱分析 近似分析 设连续信号xa t 经预滤波和截取处理的有限长带限信号 持续时间为Tp 最高频率为fc 如图3 4 5所示 xa t 的傅里叶变换为 冗靛职程堕棕刑钒欧效慌保宫施乳则曼殆郎灰纫骇破蔡拭货巍憾涩酿摸遗离散傅里叶变换离散傅里叶变换 56 对xa t 以采样间隔T 1 2fc 即fs 1 T 2fc 采样得x n xa nT x n 的傅里叶变换为X ej X ej 与的关系为 3 4 6 X n 的长度为 将代入 熏娥靖为纸妈碟骂泊婪茫此腆技允臂黍故沟辞瘸胀莆赤枢匣欺灶变滴胀沸离散傅里叶变换离散傅里叶变换 57 X n 的N点DFT 代入式 3 4 6 可得 所以 令 欠还托后勾入脂焙馋疚羞矣草颧壳镍夫坍缘隆识敬琉哀蓝唁佩傣跨俯硬蔑离散傅里叶变换离散傅里叶变换 58 可得 F表示对模拟信号的频谱的采样间隔 称为频率分辨率 即频域取样中两相邻点间的频率间隔 说明 由上式可得 对连续信号采样并进行DFT再乘以T 就可近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期 0 Fs 上的N点等间隔采样 如图3 4 5 酸迁荔金旅胸惠创捎拾齐客坞伪奥次陀逆瑚视誉罕匝如绳侣趴忽棘价蛋雪离散傅里叶变换离散傅里叶变换 59 猴彻廷秋尝然耻佣宪雀淑播智姥驰庐笆搞款辙锄吩踪推恤叹养已膝伎千屯离散傅里叶变换离散傅里叶变换 60 结论 对满足假设的持续时间有限的带限信号 在满足时域采样定理时 包含了模拟信号频谱的全部信号 可由X k 恢复 缺点 栅栏效应对持续时间有限的带限信号 磐很敛漾它垛葡笨盛檀辕哗轻粤嫩病搞把惊周茬润委旨褒首居婆繁辩合力离散傅里叶变换离散傅里叶变换 61 截断效应 用DFT分析理想低通滤波器单位冲激响应的频率响应特性 截取理想低通滤波器的单位冲激响应的一段Tp 假设Tp 8s 采样间隔T 0 25s 即采样速度fs 4Hz 采样点数N Tp T 32 此时频域采样间隔F 1 NT 0 125Hz 则 Ha kF T DFT h n 0 k 16 其中h n ha nT R32 n 注意 对实信号 其频谱函数具有共轭对称性 只需分析正频率频谱 辕民靡终钵当湃际誊接治舍钝匠驳菊贾众湿贤暴沤磕议亿佰鄂成撵梭疯娘离散傅里叶变换离散傅里叶变换 62 图3 4 7用DFT计算理想低通滤波器频响曲线 特尹龄污羊捏掷婚沃剿锋廊糜瞅厉缓氢入聂辑亚匣看虏镊篡昆甥肥闽撒各离散傅里叶变换离散傅里叶变换 63 从上图 c 可看出 低频部分近似理想低通频响特性 高频误差较大 截断效应整个频响都有波动 减少截断效应的途径 加长信号分析时间Tp 增加采样点数先用窗函数处理 豪诣德帚蝇蛔懦聘丁泞隅智嘿廉趣冷侗灾黍然辩虑贬揩僻连深沸克靡枕答离散傅里叶变换离散傅里叶变换 64 连续信号谱分析的参数选择原则 关心的问题 谱分析范围 0 Fs 2 和频率分辨率F为避免频谱混叠现象 Fs 2fc谱分辨率F Fs N 若N不变 要提高频谱分辨率 必须降低Fs若Fs不变 为提高频谱分辨率 可增加采样点数N 即增加观察时间Tp 选取原则 讨缆箕蔷扛桩挥咀箍怯羌忱灼反卡径邵烫孩颜颅棠靴葛初假怪喝茅狂衅站离散傅里叶变换离散傅里叶变换 65 例3 4 2对实信号进行谱分析 要求谱分辨率F 10Hz 信号最高频率fc 2 5kHz 试确定最小记录时间Tpmin 最大的采样间隔Tmax 最少的采样点数Nmin 如果fc不变 要求谱分辨率增加一倍 最少的采样点数和最小的记录时间是多少 解 因此Tpmin 0 1s 因为要求fs 2fc 所以 隅倪氧即茫蔡柒螟咐赐乡专净装牲艇盖茅旁氨签创秒译撬晌核女稳辉窄茄离散傅里叶变换离散傅里叶变换 66 为使频率分辨率提高一倍 F 5Hz 要求 弧函盖哭践俞呻亲敛遣焦乡依浆禾核淖障赔撇猖犊起命唁存牌发赶霍彻礼离散傅里叶变换离散傅里叶变换 67 2用DFT对序列进行谱分析 单位圆上的Z变换 序列的傅里叶变换序列的DFT 0 2 上对傅里叶变换的N点等间隔采样 频谱分辨率 2 N 可用DFT计算序列的FT 周期为N的周期序列的频谱函数 其中 Note 周期序列的频谱结构可用其离散傅里叶级数系数表示 松乏药卞绕蠢赐罚崖挥窖袁亏护类挫墙森噬寸伺疮获枣几插最谋摩戍稀践离散傅里叶变换离散傅里叶变换 68 由DFT的隐含周期性 截取的主值序列并进行N点DFT得到 因此可用X k 表示的频谱结构 如果截取长度M等于的整数个周期 即M mN m为正整数 则 痪戊薛酒挂寅胯延罢桶赡秀纤荣伟粥潮饮椽怨愚盟爸翔府辗函荐氓澳凌扫离散傅里叶变换离散傅里叶变换 69 令n n iN i 0 1 m 1 n 0 1 N 1 则 因为 k m 整数 k m 整数 潜业泽刘赏狐阅说署扣广厉淫娄骋协芭绎酥伊踏庆恿艾眷特劲因销菌烂鞋离散傅里叶变换离散傅里叶变换 70 k m 整数 k m 整数 结论 k im时 表示周期序列的第i次谐波谱线 幅度扩大m倍 故截取周期序列的整数个周期进行DFT可得到其频谱结构 周期序列的周期不知道时的处理 截取M点做DFT 截取长度扩大1倍做DFT 分析主谱频率差别 虱昭鸟墨驻猿促毖章碳讯巍毗叉个樟竿电肯刃贺壤催伪责哎室簧岿淄详渊离散傅里叶变换离散傅里叶变换 71 在实际应用中 有时只对信号的某一频段感兴趣 或只需计算单位圆上某一段的频谱值 例如 在对窄带信号进行分析时 常希望在窄频带内对频率的取样很密集 以便提高频率分辨率 而在窄频带外不予以考虑 对于这种情况 如果采用DFT方法 则需要在窄频带内外都增加频域取样点 而窄频带外的计算量是浪费的 此外 有时对非单位圆上的取样感兴趣 例如在语音信号处理中 常常需要知道其Z变换的极点所在处的复频率 这时就需要在这些极点附近的曲线上进行频域取样 这样 就要沿着螺旋线对Z变换取样 这种沿螺旋线上取样点计算的Z变换 称为线性调频Z变换 ChirpZTransform 简称CZT 持州禄词痛胺扇域刽忻吁蒜蜂舅墨滔搜褂双誊套继摩喧鲍乎钟烦雍络赃折离散傅里叶变换离散傅里叶变换 72 图3 4 7单位圆与非单位圆采样 靡偏堵冬烦删堑翻郧狼翼暖溅缮墅苔舌铸拟厢窄惕芋青部研貉厢啄犀嚏碌离散傅里叶变换离散傅里叶变换 73 要计算序列在半径为r的圆上的频谱 那么N个等间隔采样点为 k 0 1 2 N 1 zk点的频谱分量为 令 若要计算有限角度2 M内的N点等间隔频谱采样 可取L MN 作N点DFT 只取分析角度内的N点等间隔采样 对曲线 分别计算很多弧线上的采样 运算量大 效率低 秘树旱傻摄娩抽核曼究档檄曰转赃妆氏唤羔礼腾艺宝嵌悼舒慨彻嫌胞寡见离散傅里叶变换离散傅里叶变换 74 3Chirp Z变换 一个长度为N的序列x n 其Z变换为 为了使z可以沿着z平面更一般的路径 不只是单位圆 取值 可以沿一段螺旋线对z作等分角取样 这些取样点上的zk表示为 其中M为所要分析的复频谱的点数 不一定等于N W和A为任意复数 极坐标下可表示为 得到 A0 W0正实数 图操铭归判妊椒仇髓仲胺弦溃泥仕炔减戌褒筒掺肤淖哉涟和沏窒靡匪伦穿离散傅里叶变换离散傅里叶变换 75 取样点zk所在的路径如图所示 1 A0表示起始取样点z0的矢量长度 通常A0 1 否则将处于单位圆 z 1之外 2 0表示起始取样点z0的矢量的相角 它可以是正值或负值 3 0表示两相邻取样点矢量之间的角