上海高二数学暑假班 任意角详解

初中角是如何定义的 定义 有公共端点的两射线组成的几何图形叫角 回忆往事 角的范围 0o 360o 生活中很多实例会不在该范围 想想用什么办法才能推广到任意角 关键是用运动的观点来看待角的变化 这些例子不仅不在范围 0 360 而且有方向 有必要将角的概念推广到任意角 跳水运动员向内 向外转体两周半 经过1小时 秒针 分针各转了多少度 定义 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角 1 角的概念的推广 旋转开始的射线OA叫做角 的始边 旋转终止的射线OB叫做角 的终边 射线的端点O叫做角 的顶点 怎么旋转 记法 角或可简记为 A 注意 1 角的正负由旋转方向决定 2 角可以任意大小 绝对值大小由旋转次数及终边位置决定 3 角的终边重合时角不一定相等 思考下面的角度如何表示 你的手表慢了 分钟 想将它校准 分针应该旋转多少度 假如你的手表快了2 5小时 想将它校准 分针应该旋转多少度 30 900 2 象限角 坐标轴上的角 轴线角 思考 终边落在坐标轴上怎么办 如果角的终边落在了坐标轴上 这个角不属于任何象限 例如 角的终边落在X轴或Y轴上 练习 1 锐角是第几象限的角 2 第一象限的角是否都是锐角 举例说明 3 小于90 的角都是锐角吗 答 锐角是第一象限的角 答 第一象限的角并不都是锐角370o 答 小于90 的角并不都是锐角 它也有可能是零角或负角 0 90 的角 0 90 4 判断下列角所在的象限 在坐标轴上画出角 32o 328o 392o并找出它们的共同点 它们的终边都相同 3 终边相同的角的表示 探究 一 与 终边 射线 相同的角都可以表示成集合 K 3600 K Z 与 终边 直线 相同的角都可以表示成 K 1800 K Z 3900 3300 300 300 0 x3600 与300终边相同的角的一般形式为300 K 3600 K Z 终边在坐标轴上角的表示 思考 写出终边落在y轴上的角的集合 解 终边落在 轴正半轴上的角的集合为 S1 900 K 3600 K Z 900 2K 1800 K Z 900 1800的偶数倍 终边落在 轴负半轴上的角的集合为 S2 2700 K 3600 K Z 900 1800 2K 1800 K Z 900 2K 1 1800 K Z 900 1800的奇数倍 S S1 S2 所以终边落在 轴上的角的集合为 900 1800的偶数倍 900 1800的奇数倍 900 1800的整数倍 900 K 1800 K Z 变式练习 写出终边落在x轴上的角的集合 探究 二 终边 射线 落在象限内表示成集合 第一象限 k 3600 900 k 3600 k Z 第二象限 900 k 3600 1800 k 3600 k Z 第三象限 1800 k 3600 2700 k 3600 k Z 第四象限 2700 k 3600 3600 k 3600 k Z 注意以下四点 k Z 是任意角 k 360 与 之间是 号 如k 360 30 应看成k 360 30 终边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相同 终边相同的角有无数多个 它们相差360 的整数倍 方法介绍 已知 的象限 求 n象限 step1 把各象限n等分 step2 从x轴正方向起逆时针依次标上 step3 标号与 的象限一致的即为 n的象限 几何法 例 在第一象限 n 3时 3在第1 3 4象限 代数法 因为 在第一象限 即 k 3600 900 k 3600 3在第1 2 3象限 万能方法 例1 在0到360度范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它是哪个象限的角 1 120 2 640 3 950o12 解 1 120 360 240 所以与 120 角终边相同的角是240 角 它是第三象限角 例题选讲 2 640 360 280 所以与640 角终边相同的角是280 角 它是第四象限角 3 950o12 3 360 129o48 所以与 950o12 角终边相同的角是129o48 角 它是第二象限角 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S 并把S中在 360 720 的角写出来 1 60 2 21 3 363 14 解 1 S k 360 60 k Z S中在 360 720 间的角是 1 360 60 280 0 360 60 60 1 360 60 420 2 S k 360 21 k Z S中在 360 720 间的角是0 360 21 21 1 360 21 339 2 360 21 699 3 k 360 363 14 k Z S中在 360 720 间的角是 2 360 363 14 356 46 1 360 363 14 3 14 0 360 363 14 363 14 例3写出终边落在阴影部分 含边界 的角的集合 变式练习 把下图中终边落在阴影部分的角用集合表示出来 包括边界 小结 1 任意角的概念 正角 射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 射线不作旋转形成的角 1 置角的顶点于原点 2 始边重合于X轴的非负半轴 2 象限角 终边落在第几象限就是第几象限角 3 终边与角 相同的角 K 3600 K Z 4 判断一个角是第几象限角的方法 动手试一试 1 锐角是第几象限的角 第一象限的角是否都是锐角 小于90 的角是锐角吗 区间 0 90 内的角是锐角吗 答 锐角是第一象限角 第一象限角不一定是锐角 小于90 的角可能是零角或负角 故它不一定是锐角 区间 0 90 内的角不是锐角 2 已知角的顶点与坐标系原点重合 始边落在x轴的正半轴上 作出下列各角 并指出它们是哪个象限的角 1 410 2 420 3 500 4 110 答 1 第一象限角 2 第四象限角 3 第二象限角 4 第三象限角 3 已知 角的终边相同 那么 的终边在 Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上 A 4 终边与坐标轴重合的角的集合是 A k 360 k Z B k 180 k Z C k 90 k Z D k 180 90 k Z C 5 已知角2 的终边在x轴的上方 那么 是 A第一象限角B第一 二象限角C第一 三象限角D第一 四象限角 C 6 若 是第四象限角 则180 是 A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角 C 7 在直角坐标系中 若 与 终边互相垂直 那么 与 之间的关系是 A 90oB 90oC k 360o 90o k ZD k 360o 90o k Z D 8 若90 135 则 的范围是 的范围是 0 45 180 270 9 若 的终边与60 角的终边相同 那么在 0 360 范围内 终边与角的终边相同的角为 解 k 360 60 k Z 所以 k 120 20 k Z 当k 0时 得角为20 当k 1时 得角为140 当k 2时 得角为260 作业 1 下列命题正确的是 A 终边相同的角一定相等B 第一象限角都是锐角C 锐角都是第一象限角D 小于90 的角都是锐角 2 A 小于90 的角 B 第一象限角 则A B A 锐角 B 小于90 的角 C 第一象限角 D 以上都不对