1 第一章_复数与复变函数

1 第一章复数与复变函数 内容提要复变函数就是自变量为复数的函数 本章先学习复数的概念 性质与运算 然后再引入平面上的点集 复变函数极限 连续 本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处 可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广 2 第一章复数与复变函数 1 1复数1 2复数的三角表示1 3平面点集的一般概念1 4无穷大与复球面 不讲 1 5复变函数 3 第一节复数 一 复数的基本概念 p1 4 5 二 复数的代数运算 p2 1 复数的和 差 积 商 模 和与差 积 商 注 复数的运算满足交换律 结合律 分配律 模 6 2 共轭复数及性质 p3 重要性质 注 复数的共轭性质在实际计算和证明中有广泛应用 7 例1 计算复数 解 法一 商的公式 法二 共轭性质 注 某些情况应用共轭性质计算显得简单 在计算中要灵活运用共轭性质 8 例2 解 由题意得 例3 解 9 例4 p4 证明 证法二 10 第二节复数的表示法 一 复平面 p4 定义 复数的模 复数的辐角 主辐角 注 复数的辐角Argz是多值的 11 二 复数的表示法 1 复数的向量表示法 p7 因此 显然有不等式 复数 复平面上点 向量之间一一对应 12 13 2 复数的三角表示法 p9 利用直角坐标与极坐标的关系 复数的三角表示式 14 3 复数的指数表示法 p44 欧拉公式 复数的指数表示式 15 注意 复数的三角表示式和指数表示式不是唯一的 因为辐角有无穷多种选择 如果有两个三角表示式 指数表示式 相等 则可以推出 16 主辐角值的确定 p7 17 例1 解 于是 18 例1 解 于是 19 例1 解 于是 于是 20 例2 主辐角 解 模 21 三 用复数的三角表示及指数表示作乘除法 p10 模 辐角 注1 两个复数乘积的模等于它们模的乘积 辐角等于它们的辐角之和 22 模 辐角 注1 两个复数乘积的模等于它们模的乘积 辐角等于它们的辐角之和 说明 23 24 注2 两复数的商的模等于它们模的商 辐角等于被除数与除数的辐角之差 证明 模 辐角 25 例5 用三角表示式和指数表示式计算下列复数 解 26 例5 用三角表示式和指数表示式计算下列复数 27 四 复数的乘方与开方 p12 1 乘方公式 这公式称棣摩弗公式 28 四 复数的乘方与开方 棣摩弗公式 2 开方公式 p13 注 29 复数的乘方与开方 p12 1 乘方公式 2 开方公式 p13 注 取 30 例7 计算下列各题 解 31 即 32 例8 解 其解为 33 作业 练习册1 1复数练习册1 2复数的三角表示与指数表示复习 高等数学第九章第一节多元函数的基本概念 34 第三节平面点集的一般概念 研究复变函数问题 和实函数一样 每个复变量都有自己的变化范围 复变量的变化范围同于二元函数的变化范围 一 开集与闭集 1 邻域 2 内点 35 3 开集 4 余集与闭集 5 边界 36 6 孤立点 7 有界集与无界集 37 二 区域 1 连通 设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来 则称G是连通的 2 区域 连通的开集称为区域 记为D 3 闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域 4 圆环域 38 5 角形域 39 例1 试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形 并指出哪些是区域 解 40 1 光滑曲线 光滑曲线 由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 三 平面曲线 41 2 简单闭曲线 则称这条曲线为简单闭曲线 简单闭曲线 非简单闭曲线 42 3 复数形式的一般方程 定义 若平面上曲线的一般方程为 则定义 为复数形式的一般方程 定义 若平面上曲线的参数方程为 则定义 4 复数形式的参数方程 43 例2 解 为复数形式的直线方程 44 例3 解 参数方程为 由参数式得复数形式参数方程为 45 例5 参数方程为 解 例4 解 直线的参数方程 46 例6 求下列方程所表示的曲线 解 47 四 单连通区域与多连通区域 设D为一平面区域 若在D中任作一条简单闭曲线 而曲线内部总属于D 则称D为单连通区域 否则是多连通区域 单连通区域的特征 属于D的任何一条简单闭曲线 在D内可经过连续变形而缩成一点 单连通区域 多连通区域 洞 48 第四节无穷大与复球面 不讲 一 无穷远点 为了讨论问题方便 我们不但要讨论有限复数 还要讨论一个特殊的复数 无穷大 它是由下式定义的 加法 减法 乘法 除法 而实部 虚部和辐角均没有意义 49 这个点称为无穷远点 复平面加上无穷远点称为扩充复平面 扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点 3 无穷远点的邻域 复球面定义 球面上的每一点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 二 复球面 50 第五节复变函数 一 复变函数的概念 按照这一法则 1 定义 设 设是一个复数的集合 如果有一个确定的法则存在 对于集合里的每一个复数 都有一个或几个复数 与之对应 那么称 是 的复变函数 记作 51 例1 解 2 复变函数与二元函数的关系 例2 exp1 14 52 3 映射的概念 不讲 在 高等数学 中 常把函数用几何图形来表示 对于复变函数 由于它反映了两对变量之间的对应关系 因而无法用同一个平面的 几何图形表示出来 必须把它看成两个复平面上点集之间对应关系 53 例3 54 例4 解 55 二 复变函数的极限和连续 1 复变函数的极限 p23 定义1 56 定理1 设函数 证明 说明 这个定理是将复变函数 的极限问题转化为求两个二元函数 的极限问题 57 定理2 如果 例1 证明 58 2 复变函数的连续性 p24 定理3 函数 说明 复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同 因此高等数学中的有关定理依然成立 因此又有有界闭区域上