刚体习题课 [修复的]ppt课件

2020 4 23 1 刚体的定轴转动习题课 一 基本概念 二 基本规律 三 习题基本类型 四 典型习题分析与讲解 五 习题集选择与填空 六 补充练习 2020 4 23 2 一 基本概念 1 刚体及其平动 转动 定轴转动 2 转动惯量 3 转动动能 2020 4 23 3 4 力矩及其功和功率 1 对转轴的力矩 2 力矩的功 3 功率 2020 4 23 4 1 冲量矩 5 冲量矩和动量矩 2 角动量 动量矩 刚体对固定转动轴的角动量 等于它对该轴的转动惯量和角速度的乘积 2020 4 23 5 2 刚体定轴转动的动能定理 1 刚体定轴转动的转动定律 二 基本规律 3 刚体的角动量定理 2020 4 23 6 4 角动量守恒定律 5 机械能守恒 对于包括刚体的系统 功能原理和机械能守恒定律仍成立 2020 4 23 7 1 定轴转动的运动学问题 解法 利用定轴转动的运动学描述关系 三 习题基本类型 2020 4 23 8 2 转动惯量的计算 解法 1 定义法 2 平行轴定理 J JC md2 P261表5 1 记住 2020 4 23 9 3 定轴转动的动力学问题 解法 利用定轴转动中的转动定律 步骤 1 审题 确定研究对象 2 建立坐标系 3 对研究对象进行受力分析和受力矩分析 并按坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方程 注 受力分析和受力矩须取隔离体 并用线角量关系将F ma与M J 联系起来 4 计算对轴的转动惯量 5 解方程求未知 必要的结果讨论 2020 4 23 10 4 定轴转动中的功能问题 解法 利用动能定理和机械能守恒定律 5 角动量原理及角动量守恒定律 6 混合题型 解法 应用运动学公式 转动定律和角动量守恒定律 四 典型习题分析与讲解 2020 4 23 11 5 2一汽车发动机的转速在7 0s内由200rev min均匀地增加到3000rev min 1 求这段时间内的初角速度 末角速度及角加速度 2 求这段时间内转过的角度 3 发动机轴上装有一半径为r 0 2m的飞轮 求它边缘上一点在这第7 0s末的切向加速度 法向加速度和总加速度 1 解 0 2 200 60 20 9 rad s 2 3000 60 314 rad s 2 2020 4 23 12 总加速度与速度 切向 之间的夹角 3 2020 4 23 13 已挖洞的圆板的转动惯量J加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量J1就等于整个完整圆板对中心的转动惯量J2即 5 9从一半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的圆板 所形成的圆洞中心在距原薄板中心R 2处 所剩薄板的质量为m 求此薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量 解 J J2 J1 2020 4 23 14 因薄板质量均匀 得 2020 4 23 15 5 12如图 两个圆轮的半径分别为R1和R2 质量分别为M1 M2 二者皆可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起 可绕一水平固定轴自由转动 今在两轮上绕有细绳 绳端分别挂上质量为m1和m2的两个物体 求在重力作用下 m2下落时轮的角加速度 解 向上为正 向下为正 对m1 m2 整个滑轮分别进行受力分析 画出示力图 顺时针为正 2020 4 23 16 线角量关系 绳在轮上不打滑 解得 2020 4 23 17 例 求系统的加速度和拉力 2020 4 23 18 转动定律例题题解 2020 4 23 19 5 13一根均匀米尺 在60cm刻度处钉到墙上 且可以在竖直平面内自由转动 先用手使米尺保持水平 然后释放 求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时的角速度 解 设米尺质量m 对悬点O 对米尺 手刚释放时 由转动定律 2020 4 23 20 在米尺转到竖直位置过程中 系统 尺 地球 机械能守恒 2020 4 23 21 5 17坐在转椅上的人手握哑铃 两臂伸直时 人 哑铃和椅系统对竖直轴的转动惯量为J1 2kg m2 在外人推动后 此系统开始以n1 15r min转动 当人两臂收回时 使系统的转动惯量变为J2 0 80kg m2 它的转速n2是多大 解 两臂收回过程中 系统的机械能是否守恒 什么力做了功 做功多少 设轴上摩擦忽略不计 由于两臂收回过程中 人体受的沿竖直轴的外力矩为零 所以系统沿此轴的角动量守恒 两臂收回时 系统的内力 臂力 做了功 所以系统的机械能不守恒 臂力做的总功为 2020 4 23 22 2020 4 23 23 5 19如图所示 均匀杆长L 0 40m 质量M 1 0kg 由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止 今有一质量为m 8 0g的子弹以速度 200m s水平射入杆中而不复出 射入点在轴下d 3L 4处 1 求子弹停在杆中时杆的角速度 2 求杆的最大偏转角 解 1 系统 杆 子弹 在碰撞过程中 合外力矩为0 因而系统的角动量守恒 在俯视图中 选 为正方向 2020 4 23 24 2 系统 杆 子弹 地球 上摆过程 只有重力 保守力 做功 系统的机械能守恒 选杆竖直时势能为零 2020 4 23 25 5 20一转台绕竖直固定轴转动 每转一周需时间t 10s 转台对轴的转动惯量为J 1200kg m2 一质量为M 80kg的人 开始站在转台中心 随后沿半径向外跑去 当人离转台中心r 2m时转台的角速度多大 解 系统 人 转台 不受沿轴的外力矩 其角动量守恒 即 由此可得转台后来的角速度 2020 4 23 26 习题集 力学 一 选择题21一力学系统由两个质点组成 它们之间只有引力作用 若两 质点所受外力的矢量和为零 则此系统 A 动量 机械能以及对一轴的角动量都守恒 B 动量 机械能守恒 但角动量是否守恒不能断定 C 动量守恒 但机械能和角动量守恒与否不能断定 D 动量和角动量守恒 但机械能是否守恒不能断定 C 2020 4 23 27 60rev min 1rev s 2 rad s 22 P5 一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速转动 沿z轴正方向 设某时刻刚体上一点P的位置矢量为 为 其单位为 10 2m 若以 10 2ms 1 为速度单位 则该时刻P点的速度为 分析 P点在转动平面内对圆心o 的矢径为 该时刻P点的速度为 选 B 2020 4 23 28 23 P5 质量为m的小孩站在半径为R的水平平台边缘上 平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动 转动惯量为J 平台和小孩开始时均静止 当小孩突然以相对于地面为V的速率在台边沿逆时针转向走动时 则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为 A 分析 2020 4 23 29 二 填空29 半径为20cm的主动轮 通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动 主动轮从静止开始作匀角加速转动 在4s内 被动轮的角速度达到8 rads 1 则主动轮在这段时间内转过了 圈 则 两轮边缘上点的线速度大小相等 主动轮在4s内的角位移 20 解 t 4s时 2020 4 23 30 30 P12 一可绕定轴转动的飞轮 在20N m的总力矩作用下 在10s内转速由零均匀地增加到8rad s 飞轮的转动惯量J 角加速度为 解 利用转动定律 由刚体角动量定理 即 2020 4 23 31 31 P12 半径为R具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳 绳的下端挂一质量为m的物体 绳的质量可以忽略 绳与定滑轮之间无相对滑动 若物体下落的加速度为a 则定滑轮对轴的转动惯量J 解 2020 4 23 32 32 P12 一飞轮以600rev min的转速旋转 转动惯量为2 5kg m2 现加一恒定的制动力矩使飞轮在1s内停止运动 则该恒定制动力矩的大小M 解 角加速度为 0 600rev min 20 rad s 0 或 2020 4 23 33 33 P12 一长为l 重W的均匀梯子 靠墙放置如图 梯子下端连一倔强系数为k的弹簧 当梯子靠墙竖直放置时 弹簧处于自然长度 墙和地面都是光滑的 当梯子依墙而与地面成 角且处于平衡状态时 1 地面对梯子的作用力大小为 2 墙对梯子的作用力大小为 3 W k l 满足的关系式 解 刚体平衡的条件 2020 4 23 34 34 P13 转动着的飞轮的转动惯量为J 在t 0时角速度为 0 此后飞轮经历制动过程 阻力矩M的大小与角速度 的平方成正比 比例系数为k k为大于0的常数 当 0 3时 飞轮的角加速度 从开始制动到 0 3所经过的时间t 解 由转动定律M J 当 0 3时 分离变量 再由 2020 4 23 35 35长为l的杆如图悬挂 o为水平光滑固定转轴 平衡时杆铅直下垂 一子弹水平地射入杆中 则在此过程中 系统对转轴o的守恒 杆和子弹 角动量 36 P13 地球的自转角速度可以认为是恒定的 地球对于自转轴的转动惯量J 9 8 1037kg m2 地球对自转轴的角动量L 解 刚体的角动量大小 2020 4 23 36 37 P13 质量分别为m和2m的两物体 都可视为质点 用一长为l的轻质刚性细杆相连 系统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定轴o转动 已知o轴离质量为2m的质点的距离为l 3 质量为m的质点的线速度为 且与杆垂直 则该系统对转轴的角动量大小为 解 刚体的角速度 或 2020 4 23 37 38 P13 动量矩定理的内容是 其数学表达式可写成 动量矩守恒的条件是 转动物体所受的合外力矩的冲量矩等于在合外力矩作用时间内转动物体动量矩的增量 物体所受合外力矩为零 39 P14 如图所示 一匀质木球固结在一细棒下端 且可绕水平光滑固定轴o转动 今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中 则在此击中过程中 木球 子弹 细棒系统的守恒 原因是 在木球被击中和球升高的过程中 对木球 子弹 细棒 地球系统的守恒 对o轴的角动量 对该轴的合外力矩为零 机械能 2020 4 23 38 1 习题集P19 20 以 表末速度与弹簧长度方向的夹角 角动量守恒 解 对滑块 弹簧系统 对滑块 弹簧 地球系统 机械能守恒 选弹簧原长时为弹性势能零点 光滑水平面为重力势能零点 则 两式联立 可解出结果 选 为正 六 补充练习 2020 4 23 39 2 习题集P19 23 当人以相对于盘的速率 沿与盘转动相反方向走动时 盘对地的角速度为 人对地的角速度为 解 1 选 为正 有 人 盘 系统对轴的合外力矩为0 角动量守恒 2020 4 23 40 1 2 两式联立可得 2 欲使盘对地静止 须 号表示人走动方向与上一问中人走动方向相反 即与盘初始转动方向一致 2020 4 23 41 3 习题集P20 25 对 棒 滑块 系统 在碰撞过程中 由于碰撞时间极短 棒所受的摩擦力矩 滑块的冲力矩 故可近似认为合外力矩为0 因而系统的角动量守恒 在俯视图中 选 为正方向 由角动量定理 设Mf为摩擦力矩 则 解 2020 4 23 42 棒上x处dx段小质元 受摩擦力df gdm 对o轴的摩擦力矩dMf xdf 以上三式联立 解得 2020 4 23 43 4对一个绕固定水平轴o匀速转动的圆盘 沿如图所示的同一水平直线从相反方向同时射入两颗质量相同 速率相等的子弹 并留在盘中 则子弹射入后转盘的角速度是否改变 如何变 解 盘 两子弹 系统所受对O轴的合外力矩为0 两子弹射入前对O轴的角动量等值 反向 正好抵消 当两子弹射入后 系统对O的转动惯量J J 其角动量守恒 故射入前的J 只是转盘的角动量 故 即转盘的角速度减小 2020 4 23 44 5静止均匀细棒长为L 质量为M 可绕通过棒的端点且 棒长的光滑固定轴O在光滑水平面内转动 转动惯量为 ML2 3 一质量为m速率为v的子弹在水平面内沿与棒 的方向射入棒的自由端 设击穿棒后子弹的速率减为 2 则此时棒的角速度为 A mV ML B 3mV 2ML C 5mV 3ML D 7mV 4ML 解 系统 子弹 杆 对o轴 选 为正向 则 选 B 2020 4 23 45 6一质量为m的小虫 在有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘边缘上 沿逆时针方向爬行 它相对于地面的速率为 此时圆盘正沿顺时针方向转动 相对于地面的角速度为 0 设圆盘对中心轴的转动惯量为J 若小虫停止爬行 则圆盘的角速度为 解 虫 盘 系统 对O轴 2020 4 23 46 动量矩守恒特例 有心力力矩总是零 2020 4 23 47 7质量为M 半径为R的转台 可绕过中心的竖直轴转动 不计阻力 一质量为m的人 站在台的边缘 人和台原来都静止 如果人沿台边缘跑一圈 人和台各对地转了多少角度 分析 动量矩守恒 相对运动 以地为参照 2020 4 23 48 人奔一周所需时间 人对地转过角度 台对地转过角度 2020 4 23 49 分析 对m 冲量定理 对M 冲量矩定理 f 例2一质量为M 长为2l的均匀细棒 可在竖直平面内通过其中心的水平轴转动 开始时 细棒在水平位置 一质量为m的小球 以速度u垂直落到棒的端点 设小球与棒作完全弹性碰撞 求碰撞后 小球回跳速度及棒的角速度 1 l 2 动量矩守恒 能量守恒 2020 4 23 50 故在曲线运动中可以为零 例如匀速圆周运动 7对于曲线运动的物体 以下几种说法中哪一种是正确的 A 切向加速度必不为零 B 法向加速度必不为零 拐点处除外 C 由于速度沿切线方向 法向分速度必为零 因此法向加速度必为零 D 若物体作匀速运动 其总加速度必为零 E 若物体的加速度为恒矢量 它一定作匀变速率运动 B 分析 切向加速度改变速度大小 法向加速度改变加速度方向 在曲线运动中不为零 答案为 B E 中 加速度 为恒矢量 并不能说明 为恒矢量 不一定作匀变速率运动 2020 4 23 51 1一飞轮作匀减速转动 在5s内角速度由40 rad s 1减到10 rad s 1 则飞轮在这5s内总共转过了圈 飞轮再经的时间才能停止转动 二 填空题 共49分 解 由 62 5 得 1 67s 2020 4 23 52 2图示P Q R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m 3m 2m和m的四个质点 PQ QR RS l 则系统对OO 轴的转动惯量为 由转动惯量定义 解 50ml2 2020 4 23 53 T为绳子对物体 或绳子对轮轴 的拉力 三 计算题1一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端 绳另一端绕在一轮轴的轴上 轴水平且垂直于轮轴面 其半径为r 整个装置架在光滑的固定轴承之上 当物体从静止释放后 在时间t内下降了一段距离S 试求整个轮轴的转动惯量 用m r t和S表示 解 m 轮轴受力如图 则根据牛顿运动定律和转动定律得 2分 2分 2分 由已知条件 2分 将 代入 得 2分 2020 4 23 54 2一均匀木杆 质量为m1 1kg 长l 0 4m 可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴 在竖直平面内转动 设杆静止于竖直位置时 一质量为m2 10g的子弹在距杆中点l 4处穿透木杆 穿透所用时间不计 子弹初速度的大小 0 200m s 方向与杆和轴均垂直 穿出后子弹速度大小减为v 50m s 但方向未变 求子弹刚穿出的瞬时 杆的角度速度的大小 木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J m1L2 12 解 在子弹穿