ax2+bx+c的图象与性质第1课时课件 华东师大版

第1课时 1 二次函数y ax2 k的图象 1 通过在同一坐标系中画函数与的图象 可以得到 它们的对称轴都是 轴 直线 开口方向都是开口 顶点不同 函数的顶点坐标为 的顶点坐标为 y x 0 向上 0 0 0 1 2 通过观察二次函数与的图象还可以得到 当自变量x取同一数值时 函数的函数值都比的函数值 从图象位置上看 函数的图象上每一点都在函数的图象上相应点的上方 单位 函数的图象可以看成是将函数的图象向 平移 个单位得到的 大1 一个 上 一 2 二次函数y ax2 k的性质 向上 向下 0 k 0 k 增大 减小 减小 增大 0 k 0 k 点拨 k的符号决定抛物线的顶点在x轴的上方还是下方 y y 预习思考 函数y x2与y x2 1的图象形状是否相同 提示 它们的形状相同 只是开口方向不同 顶点坐标也不相同 二次函数y ax2 k的图象与性质 例1 已知下列函数 y 3x2 y 3x2 2 y 3x2 y 3x2 2 1 指出以上四个二次函数的开口方向 对称轴 顶点坐标及最值 2 函数y 3x2的图象分别与y 3x2 2 y 3x2 2的图象有怎样的联系 解题探究 1 将四个二次函数的图象在平面直角坐标系中分别画出 可得 y 3x2 y 3x2 2与y 3x2 2的开口向上 y 3x2的开口向下 四个二次函数图象的对称轴均为y轴 y 3x2和y 3x2的顶点坐标为 0 0 y 3x2 2的顶点坐标为 0 2 y 3x2 2的顶点坐标为 0 2 y 3x2 当x 0时 y最小值 0 y 3x2 2 当x 0时 y最小值 2 y 3x2 当x 0时 y最大值 0 y 3x2 2 当x 0时 y最小值 2 2 通过观察图象可得 y 3x2 2的图象是将y 3x2的图象向上平移2个单位得到的 y 3x2 2的图象是将y 3x2的图象向下平移2个单位得到的 互动探究 函数y 3x2 2的图象经过怎样的平移可得到函数y 3x2 2的图象 提示 函数y 3x2 2的图象沿y轴向下平移4个单位可得到函数y 3x2 2的图象 规律总结 函数y ax2 k的性质口诀a大于0 口向上 y轴左减右是增 x为0 k最小 a小于0 口向下 y轴左增右是减 x为0 k最大 跟踪训练 1 2012 兰州中考 抛物线y 2x2 1的对称轴是 a 直线 b 直线 c y轴 d 直线x 2 解析 选c 根据二次函数y ax2 k的性质可知y 2x2 1的对称轴是y轴 2 2011 佛山中考 下列函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而增大的是 a y x 1 b y x2 1 c y d 解析 选d a 对于一次函数y x 1 k 0 函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而减小 故本选项错误 b 对于二次函数y x2 1 当x 0时 y值随x值的增大而增大 当x 0时 y值随x值的增大而减小 故本选项错误 c 对于反比例函数 k 0 函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而减小 故本选项错误 d 对于反比例函数 k 0 函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而增大 故本选项正确 变式训练 若二次函数与y x2 k的图象的顶点重合 则下列结论不正确的是 a 这两个函数图象有相同的对称轴 b 这两个函数图象的开口方向相反 c 方程 x2 k 0没有实数根 d 二次函数y x2 k的最大值为 解析 选c 二次函数与y x2 k的图象的顶点重合 a b d正确 当时 方程 x2 k 0有实数根 故c不正确 3 2011 宁波中考 将抛物线y x2的图象向上平移1个单位 则平移后的抛物线的关系式为 解析 图象向上 下 平移 横坐标不变 由题意得 y x2 1 答案 y x2 1 二次函数y ax2 k的性质的应用 例2 7分 2012 武汉中考 如图 小河上有一拱桥 拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分acb和矩形的三边ae ed db组成 已知河底ed是水平的 ed 16m ae 8m 抛物线的顶点c到ed的距离是11m 以ed所在的直线为x轴 抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系 1 求抛物线的函数关系式 2 已知从某时刻开始的40h内 水面与河底ed的距离h 单位 m 随时间t 单位 h 的变化满足函数关系h 0 t 40 且当水面到顶点c的距离不大于5m时 需禁止船只通行 请通过计算说明 在这一时段内 需多少小时禁止船只通行 规范解答 1 设抛物线所对应的函数关系式为y ax2 11 由题意得b 8 8 2分 64a 11 8 解得a 3分 4分 2 水面到顶点c的距离不大于5m时 即水面与河底ed的距离h至少为6m 6 5分解得t1 35 t2 3 6分 需要35 3 32 h 答 需32小时禁止船只通行 7分 规律总结 利用y ax2 k的图象及性质解决生活中实际问题的步骤1 首先建立适当的坐标系 2 根据图象上的点确定函数关系式 3 利用抛物线的特点与性质解决具体问题 跟踪训练 4 赵州桥的桥拱是抛物线形 建立如图所示的坐标系 其对应的函数关系式为 当水位线在ab位置时 水面宽ab 30米 这时水面离桥顶的高度h是 a 5米 b 6米 c 8米 d 9米 解析 选d y 9 9 5 隧道的截面是抛物线 且抛物线所对应的函数关系式为 一辆车高3m 宽4m 该车 填写 能 或 不能 通过隧道 解析 在中 当y 3时 解得 x 所以宽是 4m 即不能通过 答案 不能 6 如图 某大学校门是一抛物线形水泥建筑物 大门的地面宽度为8m 两侧距地面4m高处各挂一个牌匾 且两牌匾顶部的水平距离为6m 则该大学校门的高度约是多少 精确到0 1 建筑厚度不计 解析 以校门所在地面线段的中点为原点建立平面直角坐标系 如图 设抛物线所对应的函数关系式为y ax2 k 由题意可知抛物线与x轴的两个交点坐标为 4 0 4 0 且经过点 3 4 由此三点可得抛物线的关系式为 当x 0时 9 1 故该大学校门的高度约为9 1m 1 下列关于二次函数y 3x2 2的图象和性质的说法正确的是 a 开口方向向下 顶点坐标为 0 0 b 开口方向向上 对称轴为y轴 c y随x的增大而增大 d 当x 0时 y随x的增大而减小 解析 选d 根据二次函数y ax2 k的图象和性质 由 30时 y随x的增大而减小 当x 0时 y随x的增大而增大 2 2011 湘潭中考 在同一坐标系中 一次函数y ax 1与二次函数y x2 a的图象可能是 解析 选c 本题考查函数的图象与性质 先根据一次函数y ax 1过 0 1 点排除d 再根据二次函数y x2 a开口向上 排除b 当a 0时 a c均不可能 当a 0时 a不可能 只有c可能 所以答案为c 3 抛物线y 3x2 1的顶点坐标为 对称轴是 解析 因为函数y ax2 k的顶点坐标为 0 k 对称轴为y轴 所以抛物线y 3x2 1的顶点坐标为 0 1 对称轴为 轴 答案 0 1 y轴 4 廊桥是我国古老的文化遗产 如图是某座抛物线形廊桥的示意图 已知抛物线的函数关系式为 为保护廊桥的安全 在该抛物线上距水面ab高为8米的点e f处要安装两盏警示灯 则这两盏灯的水平距离ef是 米 精确到1米 解析 由 在该抛物线上距水