01第一节 向量及其运算

2020 4 23 1 第一节向量及其运算 一 向量概念二 向量的线性运算三 空间直角坐标系四 利用坐标作向量的线性运算五 向量的模 方向角 投影六 小结思考题 2020 4 23 2 向量 既有大小又有方向的量 向量表示 模长为1的向量 零向量 模长为0的向量 向量的模 向量的大小 单位向量 一 向量概念 或 或 或 2020 4 23 3 自由向量 不考虑起点位置的向量 相等向量 大小相等且方向相同的向量 负向量 大小相等但方向相反的向量 向径 2020 4 23 4 1 加法 平行四边形法则 特殊地 若 分为同向和反向 平行四边形法则有时也称为三角形法则 二 向量的线性运算 1 向量的加减法 2020 4 23 5 向量的加法符合下列运算规律 1 交换律 2 结合律 3 2 减法 2020 4 23 6 2 向量与数的乘法 2020 4 23 7 数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 分配律 两个向量的平行关系 2020 4 23 8 证 充分性显然 必要性 两式相减 得 2020 4 23 9 按照向量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 2020 4 23 10 例1化简 解 2020 4 23 11 例2试用向量方法证明 对角线互相平分的四边形必是平行四边形 证 结论得证 2020 4 23 12 向量在轴上的值 2020 4 23 13 2020 4 23 14 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系 三 空间直角坐标系 2020 4 23 15 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 2020 4 23 16 空间的点 有序数组 特殊点的表示 坐标轴上的点 坐标面上的点 2020 4 23 17 向量的坐标分解式 任给向量 对应有点 使 如图所示 设 则 上式称为向量的坐标分解式 称为向量沿三个坐标轴方向的分向量 2020 4 23 18 向量称为点关于原点的向径 定义 向量的坐标 向量的坐标表达式 点的坐标 记作 2020 4 23 19 四 利用坐标作向量的线性运算 设 则 2020 4 23 20 解 2020 4 23 21 由题意知 2020 4 23 22 五 向量的模 方向角 投影 2020 4 23 23 特殊地 若两点分别为 2020 4 23 24 解 原结论成立 2020 4 23 25 解 设P点坐标为 所求点为 2020 4 23 26 空间两向量的夹角的概念 类似地 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与之间任意取值 2020 4 23 27 非零向量的方向角 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 2020 4 23 28 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向 向量模长的坐标表示式 2020 4 23 29 当时 向量方向余弦的坐标表示式 2020 4 23 30 方向余弦的特征 特殊地 单位向量的方向余弦为 2020 4 23 31 解 所求向量有两个 一个与同向 一个反向 或 2020 4 23 32 解 2020 4 23 33 2020 4 23 34 空间一点在轴上的投影 2020 4 23 35 空间一向量在轴上的投影 2020 4 23 36 关于向量的投影的性质 证 性质1 2020 4 23 37 性质1的说明 投影为正 投影为负 投影为零 4 相等向量在同一轴上投影相等 2020 4 23 38 可推广到有限多个 性质2 性质3 2020 4 23 39 解 2020 4 23 40 六 小结 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 注意与标量的区别 平行四边形法则 注意数乘后的方向 2020 4 23 41 空间直角坐标系 空间两点间距离公式 注意它与平面直角坐标系的区别 轴 面 卦限 2020 4 23 42 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 向量的模与方向余弦的坐标表示式 注意分向量与向量的坐标的区别 作业 P12习题8 15 12 13 15 2020 4 23 43 思考题 2 在空间直角坐标系中 指出下列各点在哪个卦限 1 已知平行四边形ABCD的对角线 试用表示平行四边形四边上对应的向量 2020 4 23 44 思考题2解答 A B C D 思考题1解答 2020 4 23 45 练习题1 2020 4 23 46 2020