2020届高考数学二轮复习 专题7 选考部分 第2讲 不等式选讲课件 理

专题讲练 专题7选考部分 第2讲不等式选讲 栏 目 导 航 1 2018年新课标 设函数f x 2x 1 x 1 1 画出y f x 的图象 2 当x 0 时 f x ax b 求a b的最小值 2 当x 0 时 f x ax b 当x 0时 f 0 2 0 a b b 2 当x 0时 要使f x ax b恒成立 则f x 的图象恒在直线y ax b的下方或在直线上 f x 的图象与y轴的交点的纵坐标为2 且各部分直线的斜率的最大值为3 当且仅当a 3且b 2时 不等式f x ax b在 0 上成立 a b的最小值为5 一 绝对值不等式的解法1 含绝对值的不等式 x a的解法2 形如 ax b cx d 的不等式 可以利用两边平方转化为二次不等式求解 3 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c c 0 ax b c ax b c或ax b c c 0 4 形如 x a x b m或 x a x b 0 的不等式 可利用零点分段法或绝对值的几何意义求解 二 绝对值三角不等式1 定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 定理2 如果a b c是实数 则 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 3 由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 1 a1 a2 an a1 a2 an 2 a b a b a b 3 a b a b a b 3 分析法证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都已经具备 那么就可以判定原不等式成立 这种方法叫作分析法 即 执果索因 的方法 4 反证法先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 这种方法叫作反证法 5 放缩法证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从而达到证明的目的 这种方法叫作放缩法 例1 2018年新课标 已知f x x 1 ax 1 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 时不等式f x x成立 求a的取值范围 分析 1 去绝对值 化为分段函数 即可求出不等式的解集 2 当x 0 1 时不等式f x x成立 转化为即 ax 1 1 即0 ax 2 即可求出a的范围 绝对值不等式的解法 用 零点分段法 解含多个绝对值符号的不等式的一般步骤 1 令每个含绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 2 将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间 3 由所分区间去掉绝对值符号可得若干个不等式 解这些不等式 求出解集 4 取各个不等式解集的并集即原不等式的解集 2019年新课标 已知函数f x x a x x 2 x a 1 当a 1时 求不等式f x 0的解集 2 当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 2 当x 1 时 f x x a x x 2 x a 当a 1时 f x x a x x 2 x a 2 x a 1 x 0在x 1 上恒成立 当a 1 a x 1时 f x x a x x 2 x a 2 x a 0 不合题意 综上 a的取值范围为 1 绝对值不等式的应用 1 绝对值不等式的证明 1 重要公式 绝对值三角不等式 a b a b a b 从左到右是放大过程 从右到左是缩小过程 证明不等式时可以直接用 也可利用它消去变量求最值 绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具 但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件 2 使用不等式 a b a b a b 时 特别是求最值 要注意等号成立的条件 即 a b a b ab 0 a b a b ab 0 a b a b b a b 0 a b a b b a b 0 注 a b a b a a b b a b b a b b b a b 0 同理可得 a b a b b a b 0 3 含绝对值不等式的证明 可考虑去掉绝对值符号 也可利用重要不等式 a b a b 及推广形式 a1 a2 an a1 a2 an 进行放缩 4 两类含绝对值不等式的证明问题 一类是比较简单的不等式 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题 或利用绝对值三角不等式 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式 往往可考虑利用一般情况成立 则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 2 含绝对值不等式的恒成立问题的三种求解方法 1 分离参数法 运用 f x a f x max a f x a f x min a 可解决恒成立中的参数范围问题 2 更换主元法 不少含参不等式恒成立问题 若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时 可转换思维角度 将主元与参数互换 常可得到简捷的解法 3 数形结合法 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了数形结合的思想 不等式的证明 1 比较法证明不等式的一般步骤 作差 商 变形 判断 结论 作差后需要判断符号 有时要把这个差变形为一个常数 或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式 也可变形为几个因式的积的形式 以判断其正负 作商后需要比较和1的大小关系 指数式常用此法 常用的变形技巧有因式分解 配方 拆项 拼项等 2 综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利