同济高等数学--第六版(上册)课件

第四节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 不讲 前面我们讨论的函数都表示为y x 的形式 其特点是 等号左端是因变量y 而右端是只含自变量x的表达式 这种方式表达的函数称为显函数 如果x与y之间的函数关系不是直接表达出来 而是用x y的一个表达式 如方程F x y 0的形式表达出来 也就是说 方程F x y 0也可以确定y是x的函数 即在方程F x y 0中当x取某区间内的任一个值时 相应地总有唯一地满足这个方程的y值存在 这就是由方程F x y 0确定的函数 我们称为隐函数 一 隐函数的导数 2 由方程F x y 0确定y是x的函数不能或不易显化 如 这时由方程F x y 0确定了y是x的隐函数 1 由方程F x y 0反解出y 确定y是x的函数y x 我们称为将一个隐函数显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 既然由方程F x y 0确定了y是x的 隐 函数 因而有必要讨论直接由方程F x y 0如何求它所确定的隐函数的导数 一般地 方程F x y 0在一定条件下确定的隐函数有两种情形 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接方程两边同时对x求导 解 方程两边同时对x求导 解得 由方程知x 0 y 0 注求导时要把方程中的y看作x的函数 按复合函数求导法则见到y就要对x求导 例2求曲线y x exy 0在点 0 1 处的切线方程 解方程两端逐项对x求导 y是x的函数 得 解得 将已知条件代入得 解 练一练 1 2 设方程x2 y2 R2确定函数y y x 求 解方程两端逐项对x求导 y是x的函数 得 解得 例3求由方程x3 y3 a 0 a是常数 确定的隐函数y x 的二阶导数 解方程两端逐项对x求导 y是x的函数 并解得 上式两端再对x求导 y是x的函数 得 1 设x4 xy y4 1 求隐函数y x 在点 0 1 处的二阶导数值 解方程两端逐项对x求导得 代入x 0 y 1得 将方程 1 两端再对x求导得 代入x 0 y 1 得 练一练 解 2 对数求导数法 对于幂指函数和连乘积函数 直接利用基本初等函数的求导公式和求导法则很难求出其导数 这时可以采用先取自然对数 然后再使用则复合函数的可导法则求其导数 这种求导方法称为对数求导法 对数求导法的步骤 1 两端取自然对数 2 两端利用求导法则对求导 3 解出 例4求幂指函数的导数 解1 对数求导法 首先取对数 得 1 幂指函数y x x x 0 的导数 解2 利用复合函数求导法则 得 上面例子说明对数求导法是充分利用对数性质及复合函数求导法则来简化求导计算的方法 例5设 解取已知函数的绝对值的对数 得 2 多个函数连乘或连除的导数 解 2 解 1 练一练 3 设函数 故 例如 消去参数 二 由参数方程所确定的函数的的导数 但是 有时消去参数t比较困难 所以我们希望直接由参数方程 1 得到y对x的导数 时 有 由参数方程所确定的函数的求导法则 时 有 此时看成x是y的函数 例5设 解 因为 解 方程组两边同时对t求导 得 设 练一练 解 练一练 所求切线方程为 由参数方程所确定的函数的二阶导数 利用新的参数方程 可得 解 例6设 问题已知 一阶导数可以看作新的参数方程 所确定的函数 再一次利用参数方程求导数 得 而 说明 解 求由参数方程确定的函数的二阶导数 练一练 解 练一练 解 练一练 解 相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 三 相关变化率 不讲 例8 解 仰角增加率 例9 解 水面上升之速率 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 对数求导法 对方程两边取对数 按隐函数的求导法则求导 参数方程求