双曲线的定义及标准方程PPT课件

双曲线的定义及其标准方程 1 椭圆是如何定义的 2a与2c的大小关系 2 椭圆的标准方程 2a 2a F1F2 0 平面内与两定点F1 F2的距离的和等于常数 的点的轨迹 思考 若把椭圆定义中的与两定点的 距离的和 改成 距离的差 那么点的轨迹会发生什么变化 能否形成曲线 若能 它的方程又怎样呢 1 取一条拉链 2 如图把它固定在板上的两点F1 F2 3 拉动拉链 M 思考 拉链运动的轨迹是什么 数学实验 yanshi 如图 A MF1 MF2 2a 如图 B MF2 MF1 2a 上面两支合起来叫做双曲线 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 新宝马总部 墨尼黑 双曲线的定义 平面内与两定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数2a点的轨迹叫做双曲线 F1 F2 焦点 MF1 MF2 2a F1F2 焦距 2c F2 F1 M o F1 F2 M 2 2a 1 2a 2a 2a 3 若常数2a 4 若常数2a F1 F2 轨迹不存在 x o 设M x y 双曲线的焦距为2c c 0 F1 c 0 F2 c 0 常数为2a F1 F2 M 以F1 F2所在的直线为X轴 线段F1F2的中点o为原点建立直角坐标系 1 建系 2 设点 3 列式 MF1 MF2 2a 4 化简 F1 F2 双曲线的标准方程 标准方程 对换x y可得 其中 c2 a2 b2 焦点在y轴上 焦点在x轴上 正定轴 请判断下列方程哪些表示双曲线 并说出焦点位置和的a b c 椭圆与双曲线比较 焦点在x轴上 焦点在y轴上 c2 a2 b2c a 0a 0b 0 MF1 MF2 2a 定义 a b c关系 方程 MF1 MF2 2a 椭圆 双曲线 a2 b2 c2a c 0a b 0 大定轴 正定轴 双曲线及标准方程 例1 已知两定点F1 5 0 F2 5 0 求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程 解 8 10 由定义 所求的轨迹是焦点在x轴双曲线 C 5 a 4 b2 c2 a2 52 42 32 所以所求方程为 双曲线及标准方程 例1 已知两定点F1 5 0 F2 5 0 求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程 变式一 若两定点改为为F1 0 5 F2 0 5 则轨迹如何 变式二 若两定点改为为 F1F2 10 则轨迹方程如何 练习1 求适合下列条件的双曲线标准方程 1 a 4 b 5 焦点在y轴上 2 a 3 c 5 课堂练习 双曲线及标准方程 课堂练习 3 与双曲线有相同焦距 双曲线上一点P到F1 F2的距离之差的绝对值为4 4 与双曲线的焦点相同 b 3 练习2 已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线上两点P1 P2的坐标分别为 3 4 5 求双曲线的标准方程 分析 因为双曲线的焦点在轴上 所以可设所求的双曲线的标准方程为因为点P1 P2在双曲线上 所以把这两点的坐标代入方程 用待定系数法求解 例2 k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1所表示的曲线是 解 原方程化为 A 焦点在x轴上的椭圆 C 焦点在y轴上的椭圆 B 焦点在y轴上的双曲线 D 焦点在x轴上的双曲线 k 1 k2 1 01 k 0 方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线 故选 B 方程表示 A 椭圆B 圆C 双曲线D 椭圆或圆或双曲线 D 变式一 形如的方程所表示的曲线形状由m n确定 若m n 0 方程表示圆 若m 0 n 0且 方程表示椭圆 若mn 0 方程表示双曲线 变式二 为定点 为常数 小结 练习1 已知双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6 则 1 a c b 2 双曲线的标准方程为 3 双曲线上一点 PF1 10 则 PF2 3 5 4 4或16 6 课堂练习 2已知两点F1 5 0 F2 5 0 动点P到F1和P到F2的距离的差等于8 则点P的轨迹是什么 已知两点F1 5 0 F2 5 0 动点P到F1 F2距离的差的绝对值等于10 求点P的轨迹 如果动点P到F1 F2距离的差的绝对值等于12 点P的轨迹会出现什么情形 课堂练习 4 若椭圆与双曲线的