空间两点间的距离公式

4 3 2空间两点间的距离公式 2006年3月俄罗斯空军特技飞行表演队在我国著名风景区张家界市天门山进行特技表演 为了保证安全飞行 飞行员及地面指挥员们如何准确确定飞机之间的距离 1 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么 那么 如何求空间中两点间的距离呢 1 掌握空间两点间的距离公式 重点 2 会应用距离公式解决有关问题 难点 3 通过对空间两点间距离公式的探究与推导 初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法 在空间直角坐标系中 若已知两个点的坐标 则这两点之间的距离是惟一确定的 我们希望有一个求两点间距离的计算公式 对此 我们从理论上进行探究 长a 宽b 高c的长方体的对角线 怎么求 在空间直角坐标系中 点P x y z 到xOy平面的距离 怎么求 一 探究 空间两点间的距离公式 垂线段的长 在空间直角坐标系中 点P x0 y0 z0 到坐标轴的距离 怎么求 垂线段的长 1 空间点到原点的距离 探究 如果 是定长r 那么 表示什么图形 在空间中 到定点的距离等于定长的点的轨迹是 以原点为球心 半径长为r的球面 2 如果是空间中任意一点P1 x1 y1 z1 到点P2 x2 y2 z2 之间的距离公式会是怎样呢 如图 设P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 是空间中任意两点 且点P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 在xOy平面上的射影分别为M N 那么M N的坐标为M x1 y1 0 N x2 y2 0 在xOy平面上 过点P1作P2N的垂线 垂足为H 则 所以 因此 空间中任意两点P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 之间的距离 在空间直角坐标系中 点P x1 y1 z1 和点Q x2 y2 z2 的中点坐标 x y z 二 空间中点坐标公式 原结论成立 证明 例1求证以M1 4 3 1 M2 7 1 2 M3 5 2 3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 答案 1 求下列两点的距离 变式练习 例2 在z轴上求与两点A 4 1 7 和B 3 5 2 等距离的点 解 设所求的点为M 0 0 z 依题意有 解之得 即 所以所求点的坐标是 答案 在z轴上求一点M 使点M到A 1 0 2 与点B 1 3 1 的距离相等 变式练习 1 到定点 1 0 0 的距离小于或等于1的点的集合是 A x y z x 1 2 y2 z2 1 B x y z x 1 2 y2 z2 1 C x y z x2 y2 z2 2 D x y z x2 y2 z2 1 A 2 在Rt ABC中 BAC 90 三点的坐标为A 2 1 1 B 1 1 2 C x 0 1 则x 3 若点P x y z 到A 1 0 1 B 2 1 0 两点的距离相等 则x y z满足的关系式是 2 2x 2y 2z 3 0 4 已知点P在z轴上满足 OP 1 O是坐标原点 则点P到点A 1 1 1 的距离是 5 正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A 1 2 1 B 3 2 3 则正方体的棱长为 4 类比 猜想 一 两点间距离公式 在空间直角坐标系中 点P x1 y