胡海岩+机械振动与冲击课后习题解答__第1章习题

第一章习题第一章习题 P57 1 1 0 05m 0 1m0 2m s0 08m s一物体作简谐振动 当它通过距平衡位置为处时的速度分别为和 求其振动周期 振幅和最大速度 sin u tat cos u tat 两边平方 相加 2222 au tu t 代入已知条件 2222 2222 0 05 0 2 0 1 0 08 a a 解出 0 1069 2 1167a 2 2 2 11672 9684T 振动周期 0 1069a 振幅 0 1069 2 11670 2263a 最大速度 P57 1 2 Hz 一物体放在水平台面上 当台面沿铅垂方向作频率为5的简谐振动时 要使物体不跳离平台 对台面的振幅有何限制 mu m mg N 2 u tu t mNmgmu t 质量 运动方程 Nmu tmg 0N 不跳离条件 0mu tmg 2 g u t 2 sin g at sin 0 t 如果则上式恒成立 222 9 8 sin 0 9 9mm sin 25 gg ta t 如果则上式变为 00 30 90 121 P57 1 3 5 7 jtjt u teu teu tu tu t 求简谐位移与的合成运动并求与的相位差 0000 0 30 90 3090 12 00 65 5 57 57 5cos30 5sin307 10 44 jtjtjjj t j tjt u tu tu teeeee jee 000 1 65 53035 5u tu t 与的相位差 12 P57 1 4 5cos40 3cos39 u tt u tt 求两简谐运动的合成运动的最大振幅和最小振幅 并求其拍频和周期 4039 12 39 39 39 Re 53 Re 53 Re 5cos3 5sin Re cos 39 jtjt jtjt jt jtjt u tu tu tee ee tjt e u t ee u ttt 22 5cos3 5sin 3430cosu tttt 5sin arctan 5cos3 t t t 21 4039 1 rad s 拍频 21 22 2 s 4039 拍周期 max 34308u min 34302u 55 123 P57 1 5 2 5kg 2 10 N m 3 10 N m mkkk 写出图示系统的等效刚度的表达式 当时 求系统的固有频率 123 kkk分析表明 和 并联 之后与 串联 1212eq kkkkk 和 并联后的等效刚度 261 86 rad s eq n k m 系统的固有频率 3 123 3123 eq eq eq k k kk k k kkkkk 整个系统的等效刚度 P57 1 6 写出图示系统的等效刚度的表达式 11 kx 22 kx f a b 1 x 2 x 12 b xa x ab o 1122 fkxkx 垂直方向力平衡 1122 o kx akx b 对 力矩平衡 12 eqeq b xa x kfk ab 设等效刚度系数为 则 2 22 21 eq ab k ab kk 由以上各式得到 625 P57 1 7 4m 1 96 10 Nm4 9 10 N m 400kg lEIkm 图中简支梁长 抗弯刚度 且 分别求图示两种系统的固有频率 任意截面处的弯矩 F F 2 F 2 x w 22 Fl M xxFx 挠曲线微分方程 2 2 22 Fl xFx d wM x dxEIEI 积分 3 3 1 1262 Fxl w xxCxD EI 边界条件 0w 0w l 22 2 2 ll x x l x l 0 x 当 当 32 3 13 126248 Fxll w xxx EI F F 2 F 2 x w 33 48 2 48 beam FFEI k l Fw ll EI 6 56 33 4848 1 96 10 4 9 101 96 10 4 eqbeam EI kkkkN m l 5 3 675 10 beam eq beam k k k kk 6 1 96 10 70 400 eq n k rad s m 30 3 eq n k rad s m a b 32 3 13 126248 Fxll w xxx EI 5 P58 1 8 4 10 N m 100kg0 5m s 钢索的刚度为绕过定滑轮吊着质量为的物体以匀速下降 若钢索突然卡住 求钢索内的最大张力 n k m 系统固有频率 0 0 0 0 uuv 初始条件 22 00 00 nn uvm auv k 振幅 0 5 4 1000 9 80 5 1000 4 10 1 98 10 N Tmgka mgvmk 最大张力 P58 1 11 系统在图示平面内作微摆动 不计刚杆质量 求其固有频率 P58 1 12 l 图示摆 其转轴与铅垂方向成 角 摆长 质量不计 求摆动固有频率 4 12 n klmg ml 2 sin sinmlmgl 2 sin sin0mlmgl sin 很小 2 sin 0mlmgl 2 sin sin n mglg mll 2 22 2 4 l mlmlkmgl sinmg P58 1 13 证明对临界阻尼或过阻尼 系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次 1 对临界阻尼情形 000 nt n u tuuu t e 000 nt nn u tuuu t e 11 0 0u tu t 越过平衡位置的条件 00 0 0 uu 如果 系统静止在平衡位置上 00 0 0uu 如果 0u t 1 0t 10 0u tu 经过平衡位置一次 00 0 0uu 如果 0u t 1 t 为负值 无意义 即无解 表明系统不经过平衡位置 00 0 0uu 如果 0u t 0 1 00n u t uu 0 00 100 0 n n u uu n u tuu e 经过平衡位置一次 33 P58 1 14 10kg 0 01m20 6 4 10 m 6 10 m 20 m c s 一单自由度阻尼系统 时 弹簧静伸长 自由振动个循环后 振 幅从降至1 求阻尼系数 及个循环内阻尼力所消耗的能量 011 12 ln ln ln n n AAA AAA 0101 12 ln ln n nn AAAA n A AAA 0 1 ln2 n A nA 0 1 ln 2 n A nA 0 3 3 222ln 106 4 109 8 ln 6 91 Ns m 201 6 100 01 ssns Amggmg cmkmm nA 2222 00 3 23 2 11 20 22 10 9 8 6 4 10 1 6 10 0 19 NM 2 0 01 nn s mg k AAAA 周阻尼器消耗的能量 1 23 P58 1 15 1kg224N m 48Ns m 0 49m 2 4 mkcll llll 图示系统的刚杆质量不计 求系统固有频率及阻尼比 22 2 0 1644 llmgl mlck 224 0 49 1 9 8 7 14 rad s 44 1 0 49 n klmg ml 2 2 2 48 16 0 21 1 9 8 16 16 1 224 2 0 49 44 cl c mg klmgl m k ml l 1 2 22 21 1 2 P59 1 16 2 2 2 d mT TfA uAu m TT ATT 图示系统的薄板质量为系统在空气中 认为无阻尼 振动周期为在粘性液体中振 动周期为液体阻尼力可表示为其中为板的面积 为粘性系数 为板 运动的速度 求证 1 2 n T 2 2 22 1d n T 2 1 2 1 T T 2 1 2 2 1 T T 1 1 2 2 22 2 n A TcA mm m T 22 21 1 2 2 m TT ATT 0 P59 1 17 17 5kg 7000N m 52 5sin 1030 N mk f tt 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为求该系统在零 初始条件下被简谐力激发的响应 系统的运动方程 0 sin mu tku tft 特解为 sin d utBt 2 0 0 01 d Bfkm 响应 43 P59 1 18 100kg9 10 N m2 4 10 Ns m 90sin N 1 2 nd kc f tt B 质量为的机器安装在刚度和阻尼系数的隔振 器上 受到铅垂方向激振力作用而上下振动 求 当 时的稳态振幅 振幅具有最大值时的激振频率 3 max dd BB与的比值 0 sin mu tcu tku tft 0 j t mu tcu tku tf e dd jtjj t dd u tB eB ee 稳态解 0 2 d j d f B e kmjc 奇次方程通解 12 cossin nn u tatat 7000 17 520 n rad s 12 cossin0 01sin nn u tatatt 0 0 0 0uu 1 0 005a 2 0 0043a 响应 0 0 005cos0 0043sin0 01sin 1030 nn u tttt 0 2 d j d f B e kmjc 2 000 2 2 2222 22 2 n d nn ffB B kmjc kmjc 0 0 f B k 其中 3 00 4 90 1 25 10 m 222 0 4 9 10 d Bf B k 1 nd B 求当 时的稳态振幅 2 求振幅具有最大值时的激振频率 3 max dd BB求与的比值 22 22 2 nn 22 nn 令 22 4 nn 对 求导 并令其等于零 得到 2 1 2 n 4 22 9 10 12120 424 rad s 100 n 3 4 2 4 10 0 4 2 2 100 9 10 c mk 系统的阻尼比 2 0 2222 2 n d nn B B 2 12 n 0 2 max 21 d B B 222 222 2 1 2 max 1 36 1 0 64 21 d d B B n 其中 P59 1 19 d m 一质量为 的单自由度系统 经试验测出其阻尼自由振动的频率为在简谐激振力作用 下位移共振的激励频率为 求系统的固有频率 阻尼系数和振幅对数衰减率 2 1 2 n 位移共振 22 1 1 2 n 2 1 dn 22 1 d n 22 2 nd 系统固有频率 2 22 22 1 2 d n d d 阻尼比 22 22 22 22 2 22 2 2 n d d d d cm m m 阻尼系数 2 2 2 21 1d 振幅对数衰减率 6 P59 1 20 kg 3 10 N m 20kg 0 01m 1 2 1000rpm 一电机总质量为250 由刚度为的弹簧支承 限制其仅沿铅垂方向运动 电机转子的不平衡质量为 偏心距不计阻尼 求 临界转速 当转速为时 受迫振动的振幅 2 sinMu tku tmet 系统运动方程 0 sinu tft 特解 2 2 0 222 n me me M f kM 2 22 sin n me M u tt 稳态解 1 求临界转速 2 1000rpm 当转速为时 受迫振动的振幅 6 3 10 109 55 rad s 250 n k M 临界转速 n k M 其中 22 0 262 20 0 01 104 72 0 0085 m 3 10250 104 72 me f kM 受迫振动振幅 1000 2 1000 rpm 104 72 rad s 60 P60 1 22 2 nn m 图示系统中刚性杆质量不计 写出运动微分方程 并分别求出和 时质量 的线位移幅值 222 0 493sinmlclkllft 2 0 0 3 2sinsin nn f tBt ml 3 n k m 2 3 c km dd jtjj t dd teee 稳态解 2 0 2 j t nn B e 0 0 3f B ml 0 22 2 d j d nn B e j 00 22 22 22 2 2 d nn nn BB j n m 当时质量 的线位移幅值 00 1 2222 4 2 n n d nn Bfm ull ck 2 n m 当时质量 的线位移幅值 00 2 2 22222 2 4 2 81 64 n n d nn Bf ull kckm P60 1 23 求图示系统的稳态响应 mu tku tc v tu t 0 cosmu tku tcu tcvt 00 j tj t mu tku tcu tcveB e dd jtjj t dd u tB eB ee 特解 0 2 d j d B B e kmj c 00 2 222 d BB B kmj c kmc 2 arctan d c mk cos dd u tBt 稳态响应 P60 1 24 lhmk v 某路面沿长度方向可近似为正弦波 波长为 波峰高为 一汽车质量为减振板簧总刚度为 在 该路面上以速度 行驶 不计阻尼 求汽车铅垂振动的稳态响应和临界行驶速度 v l u k m h x y 2 sinyhx l xvt 路面形状为 运动方程为 mu tk u ty 0 2 sinsin v mu tku tkykhtft l 2 sin v yht l 0 2 v fkh l 0 2 sin f u tt km 稳态解 2 0km 2 lk v m 临界行驶速度 P60 1 25 22kg 3000rpm 4 10 一电机质量为转速为通过 个同样的弹簧对称地支承在基础上 预使传到 基础上的力为偏心质量惯性力的 求每个弹簧的刚度系数 2 sin eq Mu tk u tmet 0 sinu tBt 2 0 2 eq me B kM 22 22 sinsin eqeq meme u ttt kMMk 2 2 2 0 1 eq eq me kme Mk 22 5 22 100 1 97 10 N m 1111 eq M k 3000 2 100 60 5 4 1 97 10 4 94 10 N m 44 eq k k 每个弹簧的刚度系数 P60 1 26 15002000rpm 90 发动机的工作转速为要隔离发动机引起的电子设备以上的振动 若 不计阻尼 求隔振器在自重下的静变形 隔振系统的固有频率 n s g 绝对运动传递率 22 2 11 1 1 d n T 15002000 rpm 157 1209 4 rad s 222 111 209 4 157 1 2 1 1 s d g T 222 111 111 209 4 157 1 s ddd ggg TTT 22 11 11 0 1 209 4 0 1 157 1 s gg 0 00250 0044 s 由以上两式得到 3 1 P60 1 28 60rpm 20kg 3 5 10 N m 200Ns m vmkk c 图示凸轮转速 基础位移 是如图所示的锯齿波 已知 求系统的稳态响应 顶杆的运动方程为 0 025 0vttT T 0 1 Hz 2 rad s 激励频率为则 vfourier的级数为 0 1 0 0251 0 0125sin r v trt r 1 mu tcu tku tk u tv t 振系的运动方程 1 110 1 0 0251 0 0125sin r k mu tcu tkk u tkrt r 振系的运动方程 11 0 22 22 1 00 0 0250 0251 sin sin 1 2 r kk rr trt rr kk rr 对于 次谐波激励 系统的稳态响应为 1 0 22 0 2 tan 1 r r r 1 1 1 0 0125 0 0125 k k kk 静态力引起的响应 1 0 22 22 1 1 00 0 02511 1sin 1 2 r r k u trt kk rrr 稳态响应 稳态响应 代入数值后 2 22 1 11 0 0125 1sin 2 1 0 113 0 033 r r u trt rrr 1 2 0 18 tan 0 1131 r r r 01 0 n n kk m 00 P60 1 29 0 0 uu uu 单自由度无阻尼系统受图示力激励 求系统在初始条件下的响应 单自由度无阻尼系统的单位脉冲响应 1 sin 0 n n h tt t m 0 001 1 0 0 tt f tfttt tt 强迫函数 Duhamel 利用积分 得到系统的响应 1 1 tt 求时 系统的响应为自由响应 0 01 cossin 0 nn n u u tutttt 12 2 ttt 求时 系统的响应为 1 1 0000 001 0 cossin0sin cossin 1 cos tt nnnnnn t nnn ufuf u tuttdtdutttt mk 2 3 tt 求时 系统的响应为 12 12 0000 0021 0 cossin0sin 0cossin cos cos ttt nnnnnnn tt nnn ufuf u tuttdtddutttttt mk 0 P60 1 30 a图示系统 基础有阶跃加速度求系统的相对位移响应 m质量 的运动方程 mu tk uvc uv r u tu tv t 令则得到相对运动方程 0 rrr mu tcu tku tmv tma 单自由度阻尼系统的单位脉冲响应函数 1 sin 0 nt d d h tett m 单自由度阻尼系统的自由振动解 00 0 cossin nt n rdd d uu u teutt 零初始条件下的响应 0 0 00 0 2 2 1 sin sin 1cos 1 nn n tt tt rdd dd t d n a u tmaetdetd m ae t 系统的相对位移响应 rrr u tu tu t P60 1 31 单自由度无阻尼系统的初始条件为零 求其