自动控制原理 第3章习题解答

5 1 第第 5 章章 控制系统的频域分析习题及解答控制系统的频域分析习题及解答 5 1 已知单位反馈系统的开环传递函数 试绘制其开环极坐标图和开环对数频率特性 1 11 0 10 ss sG 2 12 12 0 1 ss sG 3 12 1 1 sss sG 4 11 0 1 10 2 sss sG 解 解 1 系统的开环频率特性为 1 01 10 jj jG 2 01 01 1 R 3 01 0 10 I 3 2 01 0 100 A 10 arctan 当 从 0变化时 0 90 1 0 AIR时 当 0 180 0 0 0 AIR时 当 极坐标图为图 5 1 1 0 8 0 6 0 4 0 20 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Nyquist Diagram Real Axis Im aginary Ax is 图 5 1 num 10 den conv 1 0 0 1 1 nyquist num den 由系统的开环频率特性 1 01 10 jj jG 系统由三个典型环节组成 转折频率10 且当1 时 dBL2010lg20 所以低频段渐近线过1 dBL20 且斜率为decdB 20 系统的开环对数频率特性如图 5 1 2 5 2 100 50 0 50 100 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 图 5 1 2 num 10 den conv 1 0 0 1 1 bode num den 2 系统的开环频率特性为 41 04 01 2 2 41 04 01 4 01 21 2 01 1 2222 2 j jj jG 当 从 0变化时 极坐标图为图 5 1 3 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图 5 1 3 num 1 den conv 0 2 1 2 1 nyquist num den 又由 21 2 01 1 jj jG 知 系统由两个典型环节组成 转折频率为 55 0 21 dBL01lg201 时 且当 即低频段过dBL01 且斜率为零 从而对数坐标图为图 5 1 4 5 3 80 60 40 20 0 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 图 5 1 4 num 1 den conv 0 2 1 2 1 bode num den 3 系统的开环频率特性为 41 1 21 41 1 3 41 1 41 41 1 3 12 1 1 22 2 22 222 2 222 2 j j jjj jG 当 从 0变化时 极坐标图为图 5 1 5 局部放大图为图 5 1 6 3 2 5 2 1 5 1 0 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图 5 1 5 num 1 den conv 1 0 conv 1 1 2 1 nyquist num den 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 10 0 1 0 05 0 0 05 0 1 0 15 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图 5 1 6 图 5 1 5 的局部放大图 又系统的转折频率为1 5 0 21 在低频段的渐近线过0 1 L 点 且 5 4 斜率为decdB 20 对数频率响应为图 5 1 7 150 100 50 0 50 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 图 5 1 7 num 1 den conv 1 0 conv 1 1 2 1 bode num den 4 系统的开环频率特性为 01 01 1 11 01 01 1 1 01 10 11 0 1 10 222222 2 2 j jj jG 当 从 0变化时 极坐标图为图 5 1 8 0 1 0 08 0 06 0 04 0 0200 020 04 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图 5 1 8 num 10 den conv 1 0 conv 1 0 conv 1 1 0 1 1 nyquist num den 又系统的转折频率为10 1 21 当1 时 2010lg20 L 在低频段 的渐近线过20 1 L 点 且斜率为decdB 40 对数频率响应为图 5 1 9 200 100 0 100 200 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 360 315 270 225 180 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 图 5 1 9 num 10 den conv 1 0 conv 1 0 conv 1 1 0 1 1 bode num den 5 5 5 2 设单位反馈系统的开环传递函数 2 10 s sG 试求下列输入信号作用下 系统的稳态输出 1 30sin o ttr 2 452cos 2sin o tttr 解解 12 10 s sG 12 10 j jG 22 12 10 A 12 1 tg 1 A 0 82 4 760 2 A 0 82 9 460 1 24 25sin 82 0 76 430sin 82 0 ooo ttty 2 46 542cos 64 1 76 4sin 82 0 oo ttty 5 3 已知单位反馈系统的开环传递函数 10 1 10 sss sG 试绘制系统的极坐标图和 Bode 图 并求系统的相位裕量和幅值裕量 解解 系统的开环传递函数为 11 0 1 1 10 1 10 ssssss sG 开环频率特性为 01 01 1 1 01 01 01 1 1 1 1 01 1 1 22 2 22 j jjj jG 极坐标图为图 5 3 1 局部放大图为图 5 3 2 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 20 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图 5 3 1 num 10 den conv 1 0 conv 1 1 1 10 nyquist num den 0 2 0 18 0 16 0 14 0 12 0 1 0 08 0 06 0 04 0 020 0 05 0 04 0 03 0 02 0 01 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图 5 3 2 图 5 3 1 的局部放大图 5 6 又频率特性为 1 01 1 1 jjj jG 它 由 三 个 典 型 环 节 构 成 转 折 频 率 为1 1 10 2 且 当1 时 01lg20 L 即在低频段的渐近线过1 0 L点 且斜率为decdB 20 从而 Bode 图为图 5 3 3 150 100 50 0 50 100 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 270 225 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 图 5 3 3 num 10 den conv 1 0 conv 1 1 1 10 bode num den 相角裕量 令1 01 011 1 22 ccc c jG 即0 lg20 cc jGL 解得7844 0 c 代入相频特性中 得 6 1321 090 110 ccc tgtg 4 47 180 c 幅值裕量 1801 090 110 gg tgtg 则 srad g 2 3 从而 089 0 1 0 11 1 2 2 ggg g jG dBjGK gg 21 lg20 num 10 den conv 1 0 conv 1 1 1 10 Kg r Wg Wc margin num den Kg 11 0000 r 47 4040 Wg 3 1623 Wc 0 7844 5 4 已知题 5 4 图示 RLC 网络 当 10rad s 时 系统的幅值 A 1 相角 90 试 求其传递函数 解解 由图可得 题 5 4 图 5 7 ii U RCjLC U Cj RLj Cj U 2 0 1 1 1 1 传递函数 RCjLC jG 2 1 1 有 222 1 1 RCLC GA LC RC 2 1 arctan 又当 901 10 时 Asrad 分别代入 式解得 01 0 1 0 LCRC 从而传递函数为 11 001 0 1 2 ss sG 5 5 已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如题 5 5 图所示 试求系统的开环 传递函数 并计算系统的相角裕量 解 解 a 由图可以看出 系统的转折频率分别为300 10 5 321 设系统的 开环频率特性为 1 1 1 1 1 1 21 3 jj jK jG 1 10 1 1 5 1 1 300 1 jj jK 因低频段 第 1 个转折频率之前 的渐近线为 KLlg20 由当1 时 20lg20 KL 10 K 从而开环传递函数为 11 0 12 0 10033 0 10 ss s sG 令1 c jG 即0 c L 解得21 c 代入相频特性中 得 5 8 135 300 1 1 02 0 111 cccc tgtgtg 45 180 c num 10 0 0033 1 den conv 0 2 1 0 1 1 Kg r Wg Wc margin num den Kg r Wg Wc margin num den Kg Inf r 42 8521 Wg NaN Wc 20 9785 b 系统只有一个转折频率50 设系统的传递函数为 102 0 1 50 1 s Ks s Ks sG 因低频段 第 1 个转折频率之前 的渐近线为 lg20lg20 KL 由当10 时 dB0lg20lg20 KL 1 0 K 从而传递函数为 102 0 1 0 s s sG 又1 jG时 10 c 有 7 7802 090 1 cc tg 3 101180 c num 0 1 1 0 den 1 50 1 Kg r Wg Wc margin num den Kg Inf r 101 5370 Wg NaN Wc 10 2062 c 系统有一个转折频率 2 设系统的开环传递函数为 1 2 1 ss K sG 因渐近线方程为 2 lg20lg20lg20 KL 由当 8 时 0 2 lg20lg20lg20 KL 得32 2 8 2 K 传递函数为 5 9 15 0 32 ss sG 又当1 c jG 时 8 c 从而 166 5 0 90 1 cc tg 14 180 c num 32 den conv 1 0 0 5 1 Kg r Wg Wc margin num den Kg Inf r 14 2485 Wg Inf Wc 7 8759 或因低频段 第 1 个转折频率之前 的渐近线为 lg20lg20 KL 则在2 时 2lg20lg20 2 KL 1 由通过8 处的渐近线方程 bL lg40 得 8lg2 lg40 8 2 LL 即 2lg80 2 8 2 LLL 2 由式 1 和式 2 得3225 K 5 6 设系统开环传递函数为 1 02 01 2 01 ss K sHsG 2 11 0 1 e 1 0 sss K sHsG s 试绘制系统的 Bode 图 并确定使开环截止频率 c 5rad s 时的 K 值 解解 1 系统的开环频率特性为 02 01 2 01 jj K jHjG 所以转折频率为 1 5 2 50 由当5 c 时 1 sHsG 即 1 02 0 1 2 0 1 22 cc K 解得4213 102 2 K 系统的 Bode 图为图 5 6 1 5 10 80 60 40 20 0 20 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 135 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 图 5 6 1 num 1 4213 den conv 0 2 1 0 02 1 bode num den 2 系统的开环频率特性为 11 0 1 e 1 0 jjj K jHjG j 若srad c 5 则 1 1 0 11 22 ccc cc K jHjG 5 2825 165 K Bode 图为图 5 6 2 150 100 50 0 50 100 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 270 225 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 图 5 6 2 num 28 5 den conv 1 0 conv 1 1 0 1 1 bode num den 5 7 设系统开环频率特性极坐标图如题 5 7 图所示 试判断闭环系统的稳定性 其中 表示积分环节个数 P 为开环右极点个数 5 11 解 解 1 当 从 变化时 Nyquist 曲线 jHjG逆时针包围j0 1 点 1 次 即 1 N 又1 P PN 0 NPZ闭环系统稳定 2 2 Q s 平面上有 2 个极点位于坐标原点处 Nyquist 曲线有一个从 00 沿顺时针方向的半径为无穷大的圆 故当 从 变化时 jHjG曲线逆时针包围j0 1 点 0 次 即 0 N 又0 P PN 闭环 系统稳定 3 2 Q s 平面上有位于坐标原点的 2 个极点 Nyquist 曲线有一个从 00 沿顺时针方向的半径为无穷大的圆 所以当 从 变化时 Nyquist 曲线 jHjG未包围j0 1 点 即 0 N 又0 P PN 闭环 系统稳定 4 1 Q s 平面上有 1 个极点位于坐标原点 Nyquist 曲线有一个从 00 沿顺时针方向的半径为无穷大的半圆 当 从 变化时 Nyquist 曲线 jHjG逆时针包围j0 1 点 1 次 即 1 N 又1 P PN 闭环 系统稳定 5 当 从 变化时 Nyquist 曲线 jHjG未包围j0 1 点 即 0 N 又0 P PN 闭环系统稳定 5 12 6 1 Q s 平面上有 1 个极点位于坐标原点 Nyquist 曲线有一个从 00 沿顺时针方向的半径为无穷大的半圆 故当 从 变化时 jHjG曲线顺时针包围j0 1 点 1 次 即 1 N 又1 P 2 NPZ 闭环系统不稳定 7 1 Q s 平面上有 1 个极点位于坐标原点 Nyquist 曲线有一个从 00 沿顺时针方向的半径为无穷大的半圆 故当 从 变化时 Nyquist 曲线 jHjG逆时针包围j0 1 点 2 次 即 2 N 又0 P PN 闭环 系统不稳定 8 2 Q s 平面上有 2 个极点位于坐标原点处 Nyquist 曲线有一个从 00 沿顺时针方向的半径为无穷大的圆 故当 从 变化时 jHjG曲线顺时针包围j0 1 点 2 次 即 2 N 又0 P PN 闭 环系统不稳定 9 当 从 变化时 Nyquist 曲线 jHjG顺时针包围j0 1 点 1 次 即 1 N 又0 P 1 NPZ 闭环系统不稳定 10 当 从 变化时 Nyquist 曲线 jHjG顺时针包围j0 1 点 2 次 即 2 N 又0 P 2 NPZ 闭环系统不稳定 5 8 对题 5 8 图示系统的极坐标图 开环增益 K 500 且开环无右极点 试确定使闭 环系统稳定的 K 值范围 解 解 由 图 可 知 当j0 1 点 位 于 32 或 1 之 间 时0 N 则 0 NPZ 闭环系统稳定 设系统的开环频率特性为 500 j eMjHjG 则 50 500 1 M 20 500 2 M 05 0 500 3 M 题 5 8 图 5 13 当1 1 KM时 10 50 500 1 1 KM和1 3 M K和 10000 05 0 500 1 3 M K 交点 B 在j0 1 点左侧 C 在j0 1 点右侧 则0 N 综上所述 当10 K或 4 1025 K时 0 N P N 系统稳定 或由极坐标图可知 当500 K时 奈氏曲线不包围j0 1 点 即 又0 P PN 闭环系统稳定 当 K 变化时 奈氏曲线向左或向右移动 若交点 A 到达j0 1 点 则10 50 500 K 若交点 A 在j0 1 点右侧 则0 N P N 系统稳定 若交点 B 到达j0 1 点 则25 20 500 K 此时系统临界稳定 若 B 到了j0 1 点右侧 则PN 系统不稳定 若交点 C 到达j0 1 点 则 4 101 05 0 500 K 此时系统临界稳定 若 C 到了 j0 1 点左侧 则PN 系统不稳定 综上所述 系统稳定时 10 K或 4 1025 num 10 den conv 1 0 conv 1 1 1 10 Kg r Wg Wc margin num den Kg 11 0000 r 47 4040 Wg 3 1623 Wc 0 7844 2 若要求 30 则 150 c 1 0 90 11 tgtg从 而3 1 c 又 1 1 0 11 10 2 2 ccc c k A 代入3 1 得21 k 3 又令 180 g 得2 3 g 即当2 3 g 时有 20 1 0 11 10 lg20 2 2 ggg k 得3 11 k 5 11 已知系统的开环传递函数 5 1 sss k sHsG 试求 5 15 1 10 k时的相位裕量 和幅值裕量 g Klg20 2 求临界稳定时的k临界值 解解 1 10 k时 12 0 1 2 sss sHsG 开环频率特性 12 0 1 2 jjj jHjG 根据 的定义 先求 c 1 cc jHjG 1 12 0 1 2 ccc cc jjj jHjG 2 12 0 1 ccc jjj srad cccc 223 10404 104 0 246 000 4 252 0arctanarctan90180 cc 根据 g k的定义 先求 g 0 180 gg jHjG 00 1802 0arctanarctan90 gg 2 0 2 2 01 2 0 90 2 01 2 0 arctan g gg g gg sradsrad gg 23 2 502 01 2 dB jHjGK ggg ggg 54 9 2 0 1lg201lg20lg202lg20 lg20lg20 2 2 2 求临界稳定时的K临界值 临界稳定时 0 0 所以 000 02 0arctanarctan90180 cc 1 2 0 2 24 2 502 01 90 2 01 2 0 arctan ssrad cc c cc 1 cc jHjG 1 12 0 1 5 ccc cc jjj k jHjG 临界 83 29 临界 k 5 12 已知系统的开环传递函数 11 0 ss K sHsG 试求 0 45 时的开环放大 系数K的取值 5 16 解解 000 451 0arctan90180 c 10 c c 恰好是本系统的转折频率 也就是在转折频率处0 c L 考虑精确幅值特 性通过该点 由于是惯性环节 其修正值为 3dB 所以3 c L 渐 dBKdB20 1lg10 lg20lg203 1 1423lg20 KdBK 5 13 已知系统的开环传递函数 100 2 sss k sHsG 试求幅值裕量 dB10lg20 g K时的开环放大系数K的取值 解解 系统的开环幅频特性 1 100 222 k jHjG 系统的开环相频特性 2 0 100 arctan90 jHjG 对应穿越频率为 g 0 180 gg jHjG 0 2 0 180 100 arctan90 g g gg jHjG 0 2 90 100 arctan g g srad gg 100100 2 将srad g 10 代入开环幅频特性 100 100 2 2 2 kk jHjG ggg gg dB kjHjG k gg g 10 100 lg20 1 lg20lg20 6 31 k 将给定的开环传递函数化成时间常数形式的标准式 101 001 0 101 001 0 100 22 sss K sss k sHsG 开环放大系数 316 0 100 6 31 100 k K 5 14 已知负反馈系统的开环传递函数 101 0 11 0 sss K sHsG 试求 1 满足闭环谐振峰值4 1 r M时的开环放大系数K 2 用 及 g Klg20来分析闭环系统的稳定性 5 17 3 求出系统的时域指标 p M及 s t各是多少 解解 绘制1 K时的 Bode 图如图 5 14 所示 1 根据 与 r M间的近似关系求取 要求 在8 1 1 1 r M时 有 0 6 50 4 1 1 arcsin 1 arcsin r M 要求 取 0 51 要求 由图 5 14 中可见 当srad c 6 时 0 2 128 6 6 jHjG 这时对应的 00 8 51 6 6 180 jHjG 满足要求 而在1 K时渐进特性上对应srad c 6 处的dBL Kc 6 15 1 因此将 1 K时的渐近特性平行上移 15 5dB 则在srad 6 可得 dBKL Kc 0 lg20 1 即 dBK6 15 lg20 因此 满足题意要求的开环放大系数 03 603 61 KK 2 在srad c 6 03 6 K 0 8 51 由图可知srad g 6 31 对应 dBKg9 26lg20 所以闭环系统稳定 3 时域指标 由于本题是一个三阶的开环传函 因此采用下面两个经验公式求出 超调量 32 1 4 016 0 rp MM 调节时间 sMMt rr c s 52 0 14 1 5 2 14 1 5 12 6 1 5 2 1 5 12 22 5 15 若系统单位阶跃响应0 8 08 11 94 teety tt 试求系统频率特性 解解 9 4 36 9 8 0 4 8 11 ssssss sY 系统的传递函数为 3613 36 9 4 36 2 sssss s SR sY sG 令 js 可求得系统频率特性 图 5 14 5 18 j j jG 22222 2 2 13 36 1336 13 36 36 36 3613 36 5 16 设系统的开环传递函数为 0 0 0 1 1 21 1 2 2 TTK sTs sTK sG 1 试画出乃奎斯特图 并确定系统的稳定性 提示 请按 212121 TTTTTT TT时 求 K 变化时相角裕度 的最大值 解解 1 1 1 1 1 2 2 1 2 21 2 2 1 2 2 21 3 1 2 2 T jTT T TTK jT jTK jG 系统没有开环右极点 Z 0 当 21 TT时 系统的乃奎斯特如图 5 16 b 所示 做出增补的奎斯特图顺时针包围 1 j0 点两圈 即 N 2 所以 P 0 系统不稳定 2 本题可先求出相角出现最大值时的 max 通过改变 K 总可以使剪切频率 max c 这样相角裕度就是最大值 1 1 2 1 1 1 2 100 180180TtgTtgTtgTtg 21 12 1TT TT tg 求出相角出现最大值时的 max 2 0 1 21 21 max 2 2 max21 2 max2112 max TT TT TTTT d dtg 令 max c 则 1 max AA c 即 a b 图 5 16 5 19 1 3 2 2 3 121 2 max1 2 max 2 max2 1 1 1 1 1 TT TTTT K T TK 就是要求的 K 5 17 已知 P 0 P 为系统开环传递函数在右半平面的极点数 开环传递函数在 s 平 面原点的极点重数为 1 系统的开环增益 K 100 时的对数幅频 相频特性曲线如题 5 17 图所示 试确定闭环系统稳定的 K 的取值范围 解解 根据图系统在0 L频段内的负穿越 N 1 次 正穿越 N 0 次 系统 0 2 1 P NN 系统不稳定 要想使系统稳定 就必须使系统的正负穿越之差 为 0 而改变系统的开环增益 K 不会改变相频特性只能改变对数幅频特性 我们可以扩大 K 使剪切频率后移超过 2 但不能超过 3 同样我们也可以减小 K 使系统的剪切频 率前移到 1 之前 系统稳定的 K 的取值范围为 21 KKK 或 3 KK 其中 100020 100 lg20 1 1 K K 8 158424 100 lg20 2 2 K K 1020 100 lg20 3 3 K K 5 18 已知某单位负反馈最小相位系统有开环极点 40和 20且 当开环增益 K 25 时 系统开环幅相频率特性曲线如题 5 18 图所 示 1 写出系统的开环传递函数 G s 2 作出其对数幅频率特性渐近线 L 并求系统开环截止角 频率 c 3 能否调整开环增益 K 值使系统在给定输入 r t 1 t 作用下 稳态误差01 0 ss e 解解 1 系统的开环传递函数为 1 20 1 1 40 1 25 sss sG 题 5 17 图 Re Im 1 0 5 0 jG 0 题 5 18 图 5 20 2 画系统的对数幅频率特性渐 近线L 如图5 10所示 但要确定开 环截止角频率 c 是大于 20 还是小 于 20 可假设 c 20 则 36 221 20 25 c c c 则与假 设相符 所以 c 22 36 3 在给定输入 r t 1 t 作用下想使稳态误差01 0100 当开 环增益K由当前的25变到100时 开环幅相频率特性曲线与负实轴的交点就有 0 5变成 1 由奈氏判据系统就变得不稳定 所以不能调整开环增益来做到 5 19 系统结构图如图所示 试用 Nyquist 判据确定系统稳定时 的范围 解 解 由图系统的开环传递函数为 1 1 10 1 1 10 ss s s ss sHsG 令0 1 ss 得0 s或1 s 即系统有一个开环右极点 所以1 p 又系统的开环频率特性为 1 1010 1 1010 1 1 10 2 2 2 jIRj jj j jHjG 1111 270 18090 tgtgtgtgjHjG 当0 时 270 0 0 0 HG 0 0 0 HGA 当 时 90 0 0 0 HG 0 A Nyquist 曲线如下图所示 由0 1 1010 2 2 I 得 1 则 10 1 1010 2 R 故 Nyquist 曲线和实轴交点处坐标为 010j 若110 时 则 Nyquist 曲线逆时针包围j0 1 点 1 次 即1 N 又1 P 所以PN 系统稳定 即系统稳定时 的范围为1 0 5 21 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis Wc num 10 0 2 1 den conv 1 0 1 1 nyquist num den 5 20 已知闭环系统的幅频 相频特性如题 5 20 图所示 1 试求系统的传递函数 2 并计算系统动态性能指标 Mp ts 解解 1 从图中可以看出 该系统为一个二