谈不定积分的待定系数法

2 0 0 7 1 2 2 0X U E B A O 收稿日期 2 0 0 7 0 9 0 1 作者简介 陈燕峰 男 安徽电子信息职业技术学院教师 我们知道 待定系数法是一种重要的数学方法 它是在知道问题答案形式的前提下 通过引入一些 待定的系数 转化为方程组来解决的一种解题方法 其实 对于转子来定型的不定积分 我们也可以用待 定系数法来解 从 f x d x F x C可以看出 当F x 是一个含有 待定系数的原函数 且两边求导时 才能比较系数 得到关于待定系数的一次方程组 求出待定系数 从 而求出 f x d x 我们可以发现 能用待定系数法计 算的不定积分 主要是多项式 三角函数及指数函数 的乘积的不定积分 1 P n x e x 其中 为常数 P n x 为x的n次多项 式 我们注意到 被积函数是多项式与指数函数的 乘积 而多项式与指数函数的乘积的导数仍然是这 种形式 且多项式的最高次数不变 因此我们可以确 定这种函数的不定积分仍然是多项式与指数函数的 乘积的形式 故令 P n x e x d x Q n x e x C 然后用待定系数法求出多项式Q n x 的各项系 数 从而求出 P n x e x d x 例1求 x 3 x 2 3 e 2 x d x 解 设 x 3 x 2 3 e 2 x d x a 0 x 3 a 1x 2 a 2x a3 e 2 x C 两边求导 得 a 0 x 3 a 1x 2 a 2x a3 e 2 x C x 3 x 2 3 e 2 x 即2 a 0 x 3 3 a 0 2 a1 x 2 2 a 1 2 a2 x a 2 2 a3 x 3 x 2 3 比较两边的系数 得 2 a 0 1 3 a 0 2 a1 1 2 a 1 2 a2 0 a 2 2 a3 3 解得a 0 1 2 a 1 1 4 a 2 1 4 a 3 1 1 8 所以 x 3 x 2 3 e 2 x d x 1 2 x 3 1 4 x 2 1 4 x 1 1 8 e 2 x C 例2求 x 3 l n 3 x d x 解令l n x t 则x e t d x e t d t 于是 x 3 l n 3 x d x t 3 e 4 t d t 设 t 3 e 4 t d t b 0t 3 b 1t 2 b 2t b3 e 4 t C 则有4 b 0t 3 b 1t 2 b 2t b3 3 b 0t 2 2 b 1t b2 t 3 比较系数 得 4 b 0 1 4 b 1 3 b0 0 4 b 2 2 b1 0 4 b 3 b2 待定系数法 中图分类号 O 1 3 文献标识码 B 文章编号 1 6 7 1 8 0 2 X 2 0 0 7 0 6 0 0 5 9 0 2 N o 62 0 0 7 G e n e r a l N o 3 3V o l 6 2 0 0 7年第6期 第6卷 总第3 3期 安徽电子信息职业技术学院学报 J O U R N A L O FA N H U I V O C A T I O N A LC O L L E G EO FE L E C T R O N I C S b 0 1 2 b 1 1 2 b 2 1 4 所以 x 2 1 c o s 2 x s i n 2 x d x 1 2 x 2 1 2 x 1 4 c o s 2 x 1 2 x 2 1 2 x 1 4 s i n 2 x C 3 e x a c o s x b s i n x d x 其中a b 都是常数 因为 e x d x 1 e x C 所以根据函数乘积的求导 法则 可令 e x a c o s x b s i n x d x e x A c o s x B s i n x C 其中A B是待定系数 求出A B的值 即得所求的 不定积分 例4求 e 2 x 2 c o s 3 x s i n 3 x d x 解设 e 2 x 2 c o s 3 x s i n 3 x d x e 2 x A c o s 3 x B s i n 3 x C 则 e 2 x A c o s 3 x B s i n 3 x C e 2 x 2 c o s 3 x s i n 3 x 即 2 A 3 B c o s 3 x 2 B 3 A s i n 3 x 2 c o s 3 x s i n 3 x 比较系数 得 2 A 3 B 2 2 B 3 A 1 解得A 1 1 3 B 8 1 3 所以 e 2 x 2 c o s 3 x s i n 3 x d x e 2 x 1 1 3 c o s 3 x 8 1 3 s i n 3 x C 显然 上述三种类型的不定积分 也可以用分部 积分法来计算 但相对于用待定系数法要复杂得多 因为它们都需要多次运用分部积分法 运算量很大 4 P n x e x a c o s x b s i n x d x 其中a b 都是常数 Pn x 为x的n次多项式 被积函数是三个函数的乘积 我们可以确定它 的形式是 P n x e x a c o s x b s i n x d x e x Qn 1 x c o s x Qn 2 x s i n x C 其中Q n 1 x Q n 2 x 都是n次多项式 例5求 x e 2 x c o s 4 x 3 s i n 4 x d x 解设 x e 2 x c o s 4 x 3 s i n 4 x d x e 2 x a x b c o s 4 x c x d s i n 4 x C 则 e 2 x a x b c o s 4 x c x d s i n 4 x C x e 2 x c o s 4 x 3 s i n 4 x 整理得 2 a x b a 4 c x d x 2 c x d 4 a x b c 3 x 比较系数 得 2 a 4 c 1 2 b a 4 d 0 2 c 4 a 3 2 d 4 b c 0 解得a 7 1 0 b 9 1 0 0 c 1 1 0 d 1 3 1 0 0 所以 x e 2 x c o s 4 x 3 s i n 4 x d x e 2 x 7 1 0 x 9 1 0 0 c o s 4 x 1 1 0 x 1 3 1 0 0 s i n 4 x C 需要指出的是 有理函数的积分也用到了待定 系数法 但是在将有理函数化为部分分式时使用的 不是真正意义上的不定积分的待定系数法 参考文献 1 华东师范大学数学系编 数学分