1.正态分布的概率密度与分布函数ppt课件

第四章正态分布 正态分布是最常见因而也是最重要的分布 1 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述 近似计算 和近似地服从正态分布 4 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导 得到的 4 1正态分布的概率密度与分布函数 1正态分布的概率密度与分布函数 定义 分布 或高斯分布 记作 4 1正态分布的概率密度与分布函数 正态分布的定义 记为 分布曲线的特征 4 1正态分布的概率密度与分布函数 正态分布的概率密度与分布函数 其形状 曲线的形状与一尖塔相似 曲线将趋于平坦 4 1正态分布的概率密度与分布函数 4 1正态分布的概率密度与分布函数 标准正态分布的概率密度 标准正态分布的分布函数 4 1正态分布的概率密度与分布函数 的性质 例1 求 解 4 1正态分布的概率密度与分布函数 定理 证 则 4 1正态分布的概率密度与分布函数 正态分布的概率计算 例2 求概率 解 4 1正态分布的概率密度与分布函数 例3 这里 解 4 1正态分布的概率密度与分布函数 查附表2得 说明 若 则 4 1正态分布的概率密度与分布函数 根据小概率事件的实际不可能性原理 通常把区间 4 1正态分布的概率密度与分布函数 区间 例4 解 4 1正态分布的概率密度与分布函数 求随 4 1正态分布的概率密度与分布函数 4 1正态分布的概率密度与分布函数 4 1正态分布的概率密度与分布函数 小结 3 标准正态分布分布函数的性质 4 1正态分布的概率密度与分布函数 思考题 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 具有概率密度 的概率 解 正态分布 于是 4 1正态分布的概率密度与分布函数 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 按题意 1 所以 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 的概率 4 1正态分布的概率密度与分布函数 求这种机械零件的不合格品率 解 则 按题意 不合格品率为 4 1正态分布的概率密度与分布函数 2 3 若随机变量 且 则 解 已知 则有 4 1正态分布的概率密度与分布函数 由此可得 答 应填0 2 定理1 证 4 2正态分布的数字特征 因为 所以 2正态分布的数字特征 4 2正态分布的数字特征 利用分部积分法计算积分 所以 4 2正态分布的数字特征 参数是该分布的标准差 正态分布的概率密度完全由数学期望和方差决定 正态分布的参数是该分布的数学期望 另一个 定理2 证 4 2正态分布的数字特征 4 2正态分布的数字特征 例1 的数学期望与方差 解 所以 4 2正态分布的数字特征 4 2正态分布的数字特征 于是 4 2正态分布的数字特征 小结 思考题 方差为 解 的概率密度可以写为 4 2正态分布的数字特征 由此可知 于是有 1 设随机变量 求随机变量函数 的概率密度 数学期望与方差 解 已知 4 2正态分布的数字特征 2 4 2正态分布的数字特征 不妨定义 下面求的数学期望和方差 4 2正态分布的数字特征 又 置换积分变量 得 所以 的方差 4 2正态分布的数字特征 定义 记作 4 3二维正态分布 3 二维正态分布 4 3二维正态分布 定理1 都有 证 的边缘概率密度 分布 4 3二维正态分布 其中 设 则 由此可得 同理 4 3二维正态分布 由定理1可知 化为二次积分 得 4 3二维正态分布 设 则得 其中 定理2 证 4 3二维正态分布 所以 定理3 独立的充要条件是 证 必要性 则 充分性 则二维正态分布的联合密度可化为 4 3二维正态分布 所以 随机变量与相互独立 例1 都服从标准正态分 布 解 且已知 所以 4 3二维正态分布 4 3二维正态分布 显然有 4 3二维正态分布 此分布称为自由度为2的分布 已知 解 已知 4 3二维正态分布 4 3二维正态分布 例3 解 4 3二维正态分布 利用广义 4 3二维正态分布 定理1 则 证 的分布函数为 4 4正态随机变量的线性函数的分布 所以 4 正态随机变量的线性函数的分布 定理1表明 4 4正态随机变量的线性函数的分布 推论 则标准化的 随机变量 定理2 并且都服从正态分布 则它们的和也服从正态分布 且有 证 4 4正态随机变量的线性函数的分布 其中 4 4正态随机变量的线性函数的分布 不难计算积分得 于是 4 4正态随机变量的线性函数的分布 定理2表明 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量 定理3 且都 服从正态分布 且有 4 4正态随机变量的线性函数的分布 由定理1及定理2还可得下面更一般的结论 则它们 标准差为 试求随机 解 且 所以 又因为随机变量 4 4正态随机变量的线性函数的分布 例1 设随机变量 无实根的概率为 则 解 即 按题意 有 即 已知 4 4正态随机变量的线性函数的分布 从而 因为 所以应有 由此得 所以 的随机变量 期望 设 由正态随机变量的线性性质知 解 4 4正态随机变量的线性函数的分布 且服从相同的分布 例3 4 4正态随机变量的线性函数的分布 故 的分布 除了若干例外 一般很难求出 问题 能否利用极限的方法进行近似处理 在很一般条件下 和的极限分布就是正态分布 在一定条件下 大量独立随机变量的和的极限分布 为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理 4 5中心极限定理 5中心极限定理 定理1 林德伯格定理 设独立随机变量 满足林德伯格 4 5中心极限定理 条件 对任何实数有 其中 由林德伯格定理可知 假设被研究的随机变量可以表示为大量随机变量的和 其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用 则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的 4 5中心极限定理 其中 定理2 并且数学期望和方差都存在 它们的和的极限分布是正态分布 4 5中心极限定理 列维定理 由列维定理可得如下的近似公式 设独立同分布 4 5中心极限定理 推论 例1 解 则 并且有 计算机进行加法计算时 把每个加数取为最接近于它的整数来计算 设所有的取整误差是相互独立的随机变量 并且都在区间上服从均匀分布 求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率 于是所求的概率为 4 5中心极限定理 例2 对敌人的防御阵地进行100次轰炸 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量 其期望值为2 方差为1 69 求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率 解 4 5中心极限定理 4 5中心极限定理 定理3 棣莫弗 拉普拉斯定理 设在独立试验序列中 事件在各次试验中发生的 概率为 中发生的次数 则有 其中 是任何实数 4 5中心极限定理 由定理可以推知 设在独立试验序列中 事件 大时 之间的概率为 其中 4 5中心极限定理 4 5中心极限定理 说明 1 当充分大时 在第二章中 泊松分布是二项分布的极限分布 且有近似计算公式 2 现在由定理3知 正态分布是二项分布的