《定积分的概念》

1 5 3定积分的概念 定积分的概念 内容 应用 求定积分 利用定积分求不规则图形的面积 定积分的几何意义 用 以直代曲 解决问题的思想和具体操作过程 分割 以曲代直 作和 逼近 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 以直代曲 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 宽为Dx的小矩形面积f xi Dx近似地去代替 4 逼近 所求曲边梯形的面积S为 3 作和 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值 xi 1 xi xi 1 分割 在区间 a b 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 如果当n 时 Sn就无限接近于某个常数 这个常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出 通过 四个步骤 分割 以直代曲 求和 逼近 1 曲边梯形面积问题 2 变力作功问题 3 变速运动的距离问题 我们把这些问题从具体的问题中抽象出来 作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分 由此我们可以给定积分的定义 它们都归结为 分割 近似求和 取逼近值 问题情境 定积分的定义 一般地 设函数f x 在区间 a b 上有定义 将区间 a b 等分成n个小区间 每个小区的长度为 在每个小区间上取一点 依次为x1 x2 xi xn 作和如果无限趋近于0时 Sn无限趋近于常数S 那么称常数S为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 定积分的相关名称 叫做积分号 f x dx 叫做被积表达式 f x 叫做被积函数 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 积分下限 积分上限 按定积分的定义 有 1 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 2 设物体运动的速度v v t 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 3 设物体在变力F F r 的方向上有位移 则F在位移区间 a b 内所做的功W为 注 定积分数值只与被积函数及积分区间 a b 有关 与积分变量记号无关 函数在区间 a b 上的定积分能否为负的 定积分 定积分 定积分的几何意义 当f x 0 定积分的几何意义就是 曲线y f x 直线x a x b y 0所围成的曲边梯形的面积 当函数f x 0 x a b 时定积分几何意义 就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数 用定积分表示下列阴影部分面积 S S S 定积分的几何意义 在区间 a b 上曲线与x轴所围成图形面积的代数和 即x轴上方的面积减去x轴下方的面积 例1 计算下列定积分 求定积分 只要理解被积函数和定积分的意义 并作出图形 即可解决 定积分的基本性质 性质1 性质2 定积分关于积分区间具有可加性 性质3 例2 用定积分表示图中四个阴影部分面积 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x f x x2 f x x2 1 2 f x 1 a b 1 2 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 例3 解 x y f x sinx 1 1 定积分的实质 特殊和式的逼近值 2 定积分的思想和方法 求近似以直 不变 代曲 变 取逼近 3 定积分的几何意义及简单应用 1 利用定积分的几何意义 判断下列定积分值的正 负号 利用定积分的几何