《复变函数与积分变换》第一章

复变函数与积分变换及应用背景 莫里斯 克莱恩 1908 1992 古今数学思想 MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes 的作者 美国数学史家 指出 从技术观点来看 十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论 这个新的数学分支统治了十九世纪 这一丰饶的数学分支 一直被称为这个世纪的数学享受 它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一 几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样 的概念 从而建立了复变函数理论 为了建立代数方程的普遍理论 人们引入复数 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分 阿达马 说 实域中两个 真理之间的最短路程是通过复域 3 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究 函数理论证明了 应用复变 4 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等 5 应用于计算渗流问题 例如 大坝 钻井的浸润曲线 6 应用于平面热传导问题 电 磁 场强度 例如 热炉中温度的计算 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算 从而研究机翼的造型问题 变换应用于频谱分析和信号处理等 傅里叶变换 7 复变函数理论也是积分变换的重要基础 积分变换在许多领域被广泛地应用 如电力工程 通信和控制领域以及信号分析 图象处理和其他许多数学 物理和工程技术领域 频谱分析是对各次谐波的频率 振幅 相位之间的关系进行分析 随着计算机的发展 语音 图象等作为信号 在频域中的处理要方便得多 8 变换应用于控制问题 在控制问题中 传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比 9 第1章复数与复变函数 1 1复数运算及几何表示 1 2复平面上的点集 1 3复变函数 主要内容 本章首先引入复数的概念及表示式 复数的运算 平面点集的概念 然后讨论复变函数的极限连续性 1 1复数运算及几何表示 1复数概念及四则运算 2复数的几何表示 3共轭复数 4乘除 乘方与开方 5复球面与无穷远点 1 1 1 复数概念及四则运算 由于解代数方程的需要 人们引进了复数 例如 简单的代数方程 在实数范围内无解 为了建立代数方程的普遍理论 引入等式 由该等式所定义的数称为 当复数的虚部为零 实部不为零 即x 0 y 0 时 复数x iy等于x i0为实数x 数x iy 或x yi 的 并记做 称形如x iy或x yi的表达式为复数 其中x和y是任意两个实数 把这里的x和y分别称为复 3 0i 3是实数 4 5i 3i都是虚数 而 3i是纯虚数 而虚部不为零 即y 0 的复数称为虚数 在虚数中 实部为零 即x 0 的称为纯虚数 显然 z x iy是x yi的共轭复数 即 共轭复数 复数x iy称为复数x yi的 其中x y均为实数 记做 比如 1 2 3i是2 3i的共轭复数 2 5i是5i的共轭复数 3 8是8的共轭复数 从复数角度 复数的四则运算 注意复数不能比较大小 设z1 x1 iy1 z2 x2 iy2是两个复数 如果x1 x2 y1 y2 则称z1和z2相等 记为z1 z2 复数z1 x1 iy1和z2 x2 iy2的加 减 乘 除运算定义如下 1 复数的和与差 2 复数的积 3 复数的商 求 计算 2 结合律 3 分配律 复数运算的性质 1 交换律 给定一复数z x yi 在坐标平面XOY上存在惟一的点P x y 与z x yi对应 反之 对XOY平面上的点P x y 存在惟一的复数z x yi与它对应 这时把XOY平面平面称为复平面 有时简称为z平面 或用拉丁字母 表示 complexnumber 复数 1 1 2复数的几何表示 建立起了平面上全部点与全体复数间一一对应关系 因此可以用XOY平面上的点表示复数z 1 复平面 显然 实数与x轴上的点一一对应 而x轴以外的点都对应一个虚数 纯虚数与y轴上的点 除原点 对应 因此 称x轴为实轴 y轴为虚轴 今后把复平面上的点和复数z不加区别 即 点z 和 复数z 是同一个意思 有时用C表示全体复数或复平面 复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示 如图 2 平面向量 这时复数加 减法满足向量加 减法中的平行四边形法则 用表示复数z x yi时 这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y 把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值 记做 z 如果点P不是原点 即 那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角 记做Argz 对每个 都有无穷多个辐角 因为用q0表示复数z的一个辐角时 就是z的辐角的一般表达式 辐角 有时 在进行说明后 把主辐角定义为满足 的方向角 但当z 0时 z 0 满足的复数z的称为主辐角 或称辐角的主值 记做argz 则 的辐角 这时上式仍然成立 当z 0时 Argz没有意义 即零向量没有确定 当时 有 说明 当z在第二象限时 利用直角坐标与极坐标之间的关系 数z的三角表示式 再利用欧拉公式 复数z x yi可表示为称为复 复数z x yi又可表示为称为复数的 指数表示式 其中r z q Argz 3 复数的指数形式 在坐标系中描点 并写出各个复数的模与辐角 1 2 2 i 3 1 i 1 2 2 arg 2 2 i 1 arg i 2 3 1 i arg 1 i 4 写出的辐角和它的指数形式 将下列复数化为三角表示式与指数表示式 第二象限 2 显然 r z 1 又 因此 1 z在第三象限 因此 因此 共轭复数的几何性质 一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的 复数和与差的模的性质 从几何上看 复数z2 z1所表示的向量 与以z1为起点 z2为终点的向量相等 方向相同 模相等 1 1 4乘除 幂与开方 设复数z1和z2的三角表示式为 根据乘法定义和运算法则及两角和公式 1 乘法 两个复数相乘的几何意义 设两个复数对应的向量分别为 先将z1按逆时针方向 旋转角度 再将模 变到原来的r2倍 于是 所得的向量z就表示乘积 2 除法 用三角表示式计算下列复数 1 另解 2 另解 复数的幂与开方 3 复数的幂 在上式中令r 1 则得到 棣莫弗 DeMoivre 公式 比如 复数的幂与开方 4 复数的方根 复数求方根是复数幂的逆运算 复数的n次方根一般是多值的 即 由 正实数的算术根 具体为 具体为 描述 求 所以 因为 即 注 四个根是内接于中心在原点半径为21 8的圆的正方形的四个顶点 n个根就是以原点为中心 2 3 无意义 无意义 在复平面上对应到哪一点 一 无穷大 1 1 5复球面与无穷远点 定义一个特殊的复数 称为无穷大 满足 二 无穷远点 1 无穷远点的概念 称为无穷远点 事实上 在通常的复平面上并不存在这样的点 因此只能说它是一个 理想 点 那么 这个 理想 点到底在哪里呢 下面就来看看黎曼 Riemnann 给出的解释 2 复球面 如图 其中 N为北极 S为南极 这样的球面称作复球面 对复平面上的任一点用 球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点一一对应 球面上的N点本身则对应到了 复平面 上的无穷远点 某球面与复平面相切 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们用球面上的点来表示复数 球面上的北极N不能对应复平面上的定点 当球面上的点离北极N越近 它所表示的复数的模越大 3 扩充复平面 2 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或者简称为复平面 求方程w4 16 0的四个根 因为 16 24e 2k 1 pi 所以w4 24e 2k 1 pi 于是 w1 w2 w3 w4恰好是以原点为圆心 半径为2的圆 z 2的内接正方形的四个顶点 如图 1 2 1基本概念 1 邻域 1 称点集为点的邻域 2 称点集为点的去心邻域 1 2复平面上的点集 内点 2 内点 外点与边界点 1 考虑某平面点集G以及某一点 外点 1 边界点 3 开集与闭集 4 有界集与无界集 则G称为有界集 否则称为非有界集或无界集 1 2 2区域和曲线 区域 平面点集D称为一个区域 如果它满足下列两个条件 1 D是一个开集 2 D是连通的 闭区域 不连通 连通 一 区域 1 圆环域 例判断下列区域是否有界 2 上半平面 3 角形域 4 带形域 答案 1 有界 2 3 4 无界 一 区域 二 平面曲线 1 方程式 在直角平面上 在复平面上 如何相互转换 1 2 二 平面曲线 2 参数式 在直角平面上 在复平面上 2 在复平面上 1 在直角平面上 二 平面曲线 3 曲线的分类 考虑曲线 简单曲线 当时 简单闭曲线 简单曲线且 光滑曲线 简单 不闭 简单 闭 不简单 闭 不简单 不闭 连续的简单闭曲线称为Jordan曲线 连续曲线 连续 单连通区域与多连通区域 设D是复平面上的一个区域 如果位于D内的任何Jordan曲线的内部区域也都包含于D 则称D为单连通区域 若区域D不是单连通区域 则称它为多连通区域 单连通域 多连通域 1 3复变函数 1复变函数的定义 几何意义 2复变函数的极限 连续性 1 3 1复变函数的定义 几何意义 设G是复数z x iy的集合 如果存在一个法则 按这个法则对于G的每一个z G 都存在惟一确定的复数w u iv与之对应 称复变量w为复变量z的复变函数 简称w是z的复变函数 记作w f z G称为该函数的定义集合 定义1 3 1 与G中z对应的w的值构成的集合称为函数值集合 记作f G 因为z x iy和w都是复数 若把w记为u iv时 u与v也是z的函数 因此也是x和y的函数 于是 可以写成 其中u x y 和v x y 都是实变量的二元函数 w z2是定义在整个复平面上的复函数 因为 于是函数w z2对应于两个二元实函数 令 是定义在除原点外整个复平面上的复函数 映射的概念 在 高等数学 中 常把函数用几何图形来表示 对于复变函数 由于它反映了两对变量之间的对应关系 因而无法用同一个平面的 几何图形表示出来 必须把它看成两个复平面上点集之间对应关系 Z平面 w平面 反函数的定义 设函数w f z 的定义域为复平面上的点集D 称复平面上的点集 为函数w f z 的值域 对于任意的w G 必有D中一个或几个复数与之对应 于是 确定了G上一个单值或多值函数z j w 称之为函数w f z 的反函数 设复变函数w f z 在z0的某个去心邻域内有定义 A是确定复常数 若对任意给定的e 0 存在d 0 使得对一切满足0 z z0 d的z 都有 成立 则称当z趋于z0时 f z 以A为极限 并记做 或 注意 定义中z z0的方式是任意的 1 3 2极限与连续性 定义1 3 2 几何意义 当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时 它的 象点f z 就落入A的预先给定的小邻域内 关于极限的计算 有下面的定理 注意 z趋于z0的方式是任意的 就是说 无论z从什么方向 以何种方式趋向于z0 f z 都要趋向于同一个常数 定理1 3 1设函数 证明 说明 这个定理是将复变函数 的极限问题转化为求两个二元函数 的极限问题 定理1 3 2 复函数极限的四则运算法则 计算极限 当z 0时 函数 极限不存在 事实上 当z沿直线y kx趋于零时 该极限值随k值的变化而变化 所以极限 不存在 定义1 3 3设f z 在z0的邻域内有定义 且 则称f z 在z0处连续 若f z 在区域D内的每一点都连续 则称f z 在区域D上连续 关于函数f z 在连续曲线C上的连续性和闭区域上的连续性 只要把上述定义中的z限制在C或上即可 函数的连续性 定理1 3 3 复变函数的连续性 p22 定理1 3 4 说明 复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性定义形式上完全相同 因此高等数学中的有关定理依然成立 因此又有有界闭区域上连续函数的性质 1 复数运算和各种表示法 2 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 本章的重点 第一章完 LeonhardEuler 1707 4 15 1783 9 18 伟大的瑞士数学家及自然科学家 出生于牧师家庭 自幼受父亲的教育 13岁时入读巴塞尔大学 在数学领域内 18世纪可以称为是Euler的世纪 他对数学的研究非常广泛 在 半个多世纪的研究生涯中 写下了浩如烟海的书籍和论文 几乎每 一个数学领域都可以看到Euler的名字 欧拉作出了非凡贡献 Euler完全失明以后 仍然以惊人的毅力 凭着记忆和心算 进行研究 直到逝世 竟达17年之久 他在物理 天文 建筑等方面也取得了辉煌的成就 Gauss说 研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法 Laplace说 读读Euler 他是我们大家的老师 28岁时 过度的工作使他右眼失明 年近花甲时 双目失明 AugustinLouisCauchy 1789 8 21 1857 5 23 法国数学家 历史上有数的 大分析学家 1805年入理工科大 学 1816年成为那里的教授 他给出了微积分的严密基础 同时其工作遍及 数学的各个领域 而且在天文学 光学 弹性力学 等方面也做出了突出的贡献 他的论文超过了七百 篇 在数量上仅次于Eule