平面解析几何中的对称问题.doc

平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。 在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。 一、点点对称定理1平面上一点关于点的对称点为，特别地，点关于点的对称点为。证明：显然为线段的中点，设，由中点坐标公式有： ，即 ，故。 例若点关于点的对称点为，求点的坐标。解：设，由定理有，即。 二、点线对称定理1平面上一点关于直线的对称点为：。证明：先证明一般情况，即的情况。Y 如图（一）,设，线段交直线于点 ，由点与点关于直线 对称，故为线段的中点且，O X 于是有： 且，又点在直线上，故有： ，解此二元一次方程组得： ，即。至于与的情况比较简单，证明略。特别地，有如下几种特殊情况：（1） 平面上一点关于轴的对称点为：；（2） 平面上一点关于轴的对称点为：；（3） 平面上一点关于直线的对称点为：；（4） 平面上一点关于直线的对称点为：；（5）平面上一点关于直线的对称点为：；（6） 平面上一点关于直线的对称点为：；（7） 平面上一点关于直线的对称点为：；（8） 平面上一点关于直线的对称点为：特别地，点关于点的对称点为。若直线与椭圆有公共点，则有：证明：由 可令，代入得：整理得： 即： ，（其中为辅助角）又 , 即：特别地，当时，有推论1 若直线与椭圆有公共点，则有： 对于定理1，若令，则有定理2 若直线与圆有公共点，则有：，整理得特别地，当时，有推论2 若直线与圆有公共点，则有： 下面略举数例说明其应用。一、 求点到直线的距离例 求点到直线的距离。解：设点到直线的距离为，构造以点为圆心，为半径的动圆，显然，当直线与动圆有公共点时， 点到直线的距离为半径的最小值，即，由定理2知：，即：，故即点到直线的距离为 此即平面解析几何中点到直线的距离公式。二、 求最值、函数的值域例 若且，则的最大值为（ ） A B C D（1990年全国高考试题） 解：设，得直线，由定理得，解得：、，即，故选（D）例 求函数的值域。 解：设，代入得：整理得，又关于的直线与关于的圆有公共点。由推论2得：解得：即所求函数的值域为。例 已知平面上两定点，为圆上任一点，求的最大值与最小值。 解：依题意有 又由得，代入得：令，有，即关于的直线与关于的圆有公共点。由定理2得：解得： 故的最大值与最小值分别为。例 已知椭圆，求的最大值。 解：令，整理得关于的直线与椭圆有公共点。由推论得：，解得： 故的最大值为。例 （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数，使得实数满足： 解：由得： 又，代入得：，即关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得：解得：，即：故最大的实数为。三、 求代数式的范围例 若，且恒成立，求的取值范围。 解：由已知得，设，得直线，由定理得：，解得：，即,即,又，故。例已知，求的取值范围。 解：由可得 令，代入得：又令，将，代入得：即关于的直线与关于的圆有公共点，由推论得：解得：，即例若，且，（）求的范围。 解：令，代入并化简得：，即又令，则有，即关于的直线与关于的圆有公共点，由定理得：，解得即例 设满足方程组 ，若，试求的取值范围。 （1986年全国高中数学联赛试题）解：由得：，即， 由+得：关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得： 解得：故的取值范围为。四、解方程组及证明不等式例已知：求证：证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点。由定理2得： 解得：，即例实数，且，求证。证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得：又所以有故，即例且满足，证明都不是负数，也不能大于。（1957年北京市数学竞赛题）证明：由得由得，关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得：解得：，又，故，同理，所以，都不是负数，也不能大于。例已知且满足，证明中至少有一个大于。（1991年“曙光杯”数学竞赛题）证明：由知中至少有一个为正数，不妨设又由得： 由得，代入得：，即关于的直线与关于的圆有公共点。由定理得：解得：，即： 又，由得：，故所以中至少有一个大于。例若中，三边为，且 试确定的形状。 （1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）解：由+得：关于的直线与关