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文档简介

第6章常微分方程 知识目标 了解二阶微分方程解的结构 理解微分方程 阶 解 通解 初始条件各特解等概念 掌握可分离变量方程的解法 掌握一阶线性微分方程的解法 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 能力目标 通过微分方程的学习 进一步培养学生独立自主的思考能力 明辨是非的判断能力 德育目标 培养学生小心求证 大胆应用于实际的综合能力 6 1微分方程的基本概念 通过实际例子 了解微分方程的概念和微分方程的阶的概念 掌握求微分方程通解的方法 能够利用初始条件求微分方程的特解 6 1 1实例分析 想一想 解析 想一想 解析 6 1 2微分方程的基本概念 微分方程 微分方程的阶 含有未知函数的导数 或微分 的方程称为微分方程 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 在一个微分方程中 未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶 注 微分方程的解 微分方程的通解 若把某个函数代入微分方程后 使该方程成为恒等式 则这个函数称为微分方程的解 如果微分方程的解中含有任意常数 且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同 则这样的解称为微分方程的通解 注 初始条件 微分方程的特解 确定微分方程通解中的任意常数值的条件称为初始条件 微分方程的不包含任意常数的解称为微分方程的特解 例题 解 解 建设绿地 防止土地沙漠化的环保意识已成为人们的共识 现已查明 有一块土地正在沙化 并且沙化的数量正在增加 其增加的速率与剩下的绿地数量成正比 有统计得知 每年沙化土地的增长率是绿地的 现有土地10万亩 试求沙化土地与时间的函数关系式 想一想 6 2一阶微分方程 了解可分离变量的微分方程的概念 掌握求解的步骤 了解一阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的概念 掌握求解一阶线性方程的基本步骤 并能够灵活运用 6 2 1可分离变量的微分方程 例题 解 解 6 2 2一阶线性微分方程 6 2 2一阶线性微分方程 例题 解 解 想一想 6 3二阶常系数线性微分方程 了解二阶常系数线性微分方程的概念及分类 掌握二阶常系数齐次 非齐次线性微分方程的求解方法及分类 能够灵活运用公式解决实际问题 6 3 1二阶常系数齐次线性微分方程的解法 6 3 1二阶常系数齐次线性微分方程的解法 根据特征根的不同情况求通解 关系表 例题 解 解 6 3 2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 对f x 的两种常见形式讨论 注 例题 解 解 例题 解 解 想一想 本章小结 本章主要介绍微分方程及解的有关概念 一阶微分方程的分离变量法 一阶线性微分方程的解法 二阶常系数线性微分方程的解法 一阶常微分方程的解法特点是分类求解 因此要熟悉基本类型的标准方程及其求解方法 二阶常系数线性微分方程的求解方法 特征根法和待定系数法都是代数方法 在由所给微分方程归结为相应代数方程 组
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