（试题 试卷 真题）第39讲：位置关系--基础知识(39页)

第39讲：位置关系-基础知识从27讲开始，我们针对中考数学中的热门考点，从数学的基础知识方面分26个专题进行探讨。静态几何中几何量的数量关系和位置关系是平面几何的基本内容，静态几何中位置关系主要分为点点、点线、点圆、线线、线圆、圆圆的位置关系。点点的位置关系表现形式有两点间的距离，三点共线问题。点线的位置关系表现形式有点在直线上，点不在直线上（点到直线的距离）。点圆的位置关系表现形式有点在圆内，点在圆上，点在圆外。线线的位置关系表现形式有平行，相交（相交的特殊情况垂直）。线圆的位置关系表现形式有相交，相切，相离。圆圆的位置关系表现形式有内含，内切，相交，外切，相离。结合2013年全国各地中考的实例，我们从六方面进行静态几何之位置关系问题的探讨：（1）点点的位置关系问题；（2）点线的位置关系问题；（3）点圆的位置关系问题；（4）线线的位置关系问题；（5）线圆的位置关系问题；（6）圆圆的位置关系问题。一、点点的位置关系问题：两点之间，线段最短，两点间的距离主要应用勾股定理求解。证明三点共线的常用方法有：1、由ABC=180 A，B，C三点共线；2、选一条过BC的直线PQ，由ABC=PBC A，B，C三点共线；3、由AB+BC=AC A，B，C三点共线；4、由AB，AC平行或垂直于某条直线 A，B，C三点共线；5、由 A，B，C三点共线。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年湖南株洲3分）如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是【 】A炎陵位于株洲市区南偏东约35的方向上 B醴陵位于攸县的北偏东约16的方向上 C株洲县位于茶陵的南偏东约40的方向上 D株洲市区位于攸县的北偏西约21的方向上2.（2013年山东德州4分）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因 3.（2013年甘肃白银、平凉、酒泉、张掖、临夏8分）两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）考点：作图应用与设计作图分析：仔细分析题意，寻求问题的解决方案到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个解答：解：（1）作出线段AB的垂直平分线；（2）作出角的平分线（2条）；它们的交点即为所求作的点C（2个）点评：本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C。由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个。4.（2013年甘肃兰州5分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）考点：作图应用与设计作图分析：根据点P到AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P解答：解：如图所示：作CD的垂直平分线，AOB的角平分线的交点P即为所求点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹5.（2013年山东青岛4分）已知，如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点求作：点E，使直线DEAB，且点E到B、D两点的距离相等（在题目的原图中完成作图）结论：【答案】解：作图如下：6.（ 2013年湖南衡阳附加题20分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由7.（2013年四川巴中10分）ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示（1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1（2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的A2B2C2（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）【答案】解；作图如图所示，可得P点坐标为：（，0）。8.（2013年江苏常州6分）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则（史称“皮克公式”）小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形181多边形273一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S= （用含a、b的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类3718684分析：根据8=8+2（11），11=7+2（31）得到S=a+2（b1）解答：解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形面积多边形1818多边形27311一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S=a+2（b1）（用含a、b的代数式表示）点评：考查了作图应用与设计作图此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算二、点线的位置关系问题：证明点在直线上的方法与证明三点共线相同。点不在直线上，则点到直线上点的所有连线中垂直线段最短，点到直线的距离即垂直线段的长。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年河北省3分）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成ABC，且B = 30，C = 100，如图2.则下列说法正确的是【 】A点M在AB上B点M在BC的中点处C点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D点M在BC上，且距点C较近，距点B较远2.（2013年广东广州3分）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=_ .3.（2013年湖南长沙3分）如图，BD是ABC的平分线，P为BD上的一点，PEBA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 cm4.（2013年吉林省5分）图、图都是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1在每个网格中标注了5个格点按下列要求画图：（1）在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个；（2）在图中，以格点为顶点，画一个正方形，使其内部已标注的格点只有3个，且边长为无理数5.（2013年山东枣庄8分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上（1）在图1中画出ABC，使ABC为直角三角形（点C在小正方形的顶点上，画出一个即可）；（2）在图2中画出ABD，使ABD为等腰三角形（点D在小正方形的顶点上，画出一个即可） (1) (2)第20题图ABAB6.（2013年广东佛山3分）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是【 】A.3B.4C.D.7.（2013年上海市4分）在O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为 三、点圆的位置关系问题：确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离d与圆的半径r的大小关系：dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆内。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年四川凉山8分）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（2，2），E（0，3）。 （1）画出ABC的外接圆P，并指出点D与P的位置关系；（2）若直线l经过点D（2，2），E（0，3），判断直线l与P的位置关系。【答案】解：（1）如图所示：ABC外接圆的圆心为（1，0），点D在P上。四、线线的位置关系问题：两直线没有公共点，则两直线平行。由三线八角可判定两直线平行；由两直线平行可判定三线八角的相等和和差关系。由平行线分线段成比例的性质可解决许多数量关系问题。两直线相交，则对顶角相等。特别地，两直线的夹角是90，则两直线垂直；反之两直线垂直，两直线的夹角是90。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年北京市4分）如图，直线，被直线所截，1=2，若3=40，则4等于【 】A. 40 B. 50 C. 70 D. 80图12.（2013年上海市4分）如图，已知在ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DEBC，EFAB，且ADDB = 35，那么CFCB等于【 】（A） 58 （B）38 （C） 35 （D）25 3.（2013年重庆市B4分）如图，直线a、b、c、d，已知ca，cb，直线b、c、d交于一点，若1=500，则2等于【 】A600 B500 C400 D3004.（2013年甘肃天水4分）如图，直线l1l2，则为【 】A150 B140 C130 D1205.（2013年广东深圳3分）如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin的值是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，特殊元素法的应用。【分析】如图，分别过点A，B作AEl1，BFl1，垂足分别为E，F，BF与l3交于点D， 6.（2013年广西贺州3分）下面各图中1和2是对顶角的是【 】ABCD考点：对顶角、邻补角分析：根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、1和2不是对顶角，故本选项错误；B、1和2是对顶角，故本选项正确；C、1和2不是对顶角，故本选项错误；D、1和2不是对顶角，是邻补角，故本选项错误故选B点评：本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并准确识图是解题的关键7.（2013年云南德宏3分）如图，三条直线相交于点O若COAB，1=56，则2等于【 】A30 B34 C45 D568.（2013年浙江温州4分）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DEBC，已知AE=6，则EC的长是【 】A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 149.（2013年福建厦门7分）如图所示，已知ACD=70，ACB=60，ABC=50求证：ABCD10.（2013年四川乐山9分）如图，已知线段AB。（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）；（2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方），连接AM、AN。BM、BN。求证：MAN=MBN。【答案】解：（1）作图如下：11.（2013年浙江杭州6分）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条考点：作图复杂作图分析：根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可解答：解：如图所示：发现：DQ=AQ或者QAD=QDA等等点评：此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键12.（2013年内蒙古赤峰12分）如图，已知MN是O的直径，直线PQ与O相切于P点，NP平分MNQ（1）求证：NQPQ；（2）若O的半径R=3，NP=，求NQ的长五、线圆的位置关系问题：直线与圆的位置关系来判定：直线l和O相交，则dr；直线l和O相切，则d=r；直线l和O相离，则dr（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年贵州铜仁4分）O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与O的位置关系是【 】A相切 B相交 C相离 D不能确定2.（2013年江苏常州2分）已知O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与O的位置关系是【 】 A相离 B相切 C相交 D无法判断3.（2013年辽宁盘锦3分）如图，ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是【 】A相交 B相切 C相离 D无法确定4.（2013年山东青岛3分）直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是【 】A、 B、 C、 D、5.（2013年浙江杭州3分）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是【 】A若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径6.（2013年山西省9分）如图，AB为的直径，点C在O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与O的位置关系，并说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长。7.（2013年内蒙古包头10分）如图，已知在ABP中，C是BP边上一点，PAC=PBA，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且交BP于点E（1）求证：PA是O的切线；（2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求O的半径及sinACE的值【答案】解：（1）证明：连接CD， AD是O的直径，ACD=90。CAD+ADC=90。又PAC=PBA，ADC=PBA，PAC=ADC。CAD+PAC=90。【考点】圆的综合题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据圆周角定理得出ACD=90以及利用PAC=PBA得出CAD+PAC=90进而得出答案。（2）首先得出CAGBAC，进而得出AC2=AGAB，求出AC即可；（3）先求出AF的长，根据勾股定理得即可得出sinADB=，利用ACE=ACB=ADB，求出即可。8.（2013年青海西宁10分）如图，O是ABC的外接圆，BC为O直径，作CAD=B，图10且点D在BC的延长线上，CEAD于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为8，CE=2，求CD的长9.（2013年甘肃白银、平凉、酒泉、张掖、临夏10分）如图，在O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E（1）若OC=5，AB=8，求tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与O的位置关系，并加以证明10.（2013年贵州六盘水10分）在RtACB中，C=90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且CBD=A（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长六、圆圆的位置关系问题：两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。两圆内含时无公切线，两圆内切时只有一条公切线，两圆相离时有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时有2条公切线。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年青海西宁3分）已知两个半径不相等的圆外切，圆心距为，大圆半径是小圆半径的倍，则小圆半径为【 】A或BCD 2.（2013年甘肃兰州4分）O1的半径为1cm，O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是（）A相交 B内切 C外切 D内含考点：圆与圆的位置关系分析：两圆的位置关系有5种：外离；外切；相交；内切；内含若dR+r，则两圆相离；若d=R+r，则两圆外切；若d=Rr，则两圆内切；若RrdR+r，则两圆相交本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况解答：解：Rr=41=3，O1O2=3cm两圆内切故选B点评：本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系3.（2013年福建泉州3分）已知O1与O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能