高中数学第一1.1.2基本不等式例题与探究新人教选修.docx

1.1.2 基本不等式典题精讲【例1】若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_.思路解析：已知条件中既有a,b的乘积又有它们的和，而要求的是ab的取值范围，因而需用基本不等式把a+b转化为乘积ab的不等式.ab=a+b+3,a,b为正数,ab+3,()2-30.(-3)(+1)0.-30.ab9.ab的取值范围是9,+).答案：9,+) 绿色通道：在同一条件式中同时出现两个正数的和与积，去求和或积的范围，是基本不等式的应用中最基本的题型，通常利用基本不等式直接转化为某个不等式，视为解不等式即可.但要时刻紧扣“一正，二定，三相等”的前提条件.【变式训练】 若正数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围是_.思路解析：利用基本不等式的变形ab()2,使已知条件转化为不等式求解.方法一：ab()2,ab=a+b+3()2.(a+b)2-4(a+b)-120,(a+b)-6(a+b)+20,a+b6或a+b-2（舍）.方法二：ab=a+b+3,b=0,a1.a+b=a+=a+1+,=(a-1)+ +2+2=6.当且仅当a-1=4a-1,即a=3时取等号.答案：6+)【例2】若x,y是正数，则（x+）2+（y+）2的最小值是（ ）A.3 B. C.4 D.思路解析：本题中的代数式展开后可出现利用基本不等式的结构，若注意到字母x,y在所给条件中的等价性，联系基本不等式的知识，可知当x=y时可取到最小值.方法一：将命题x,y的位置对调之后，命题的形式不变，取到最小值时，x=y,此时原式=2(x+)2=4,取“=”的条件为x=y=.方法二：(x+)2+(y+)2=(x2+)+(y2+)+(+)1+1+2=4,当x=y=时，式子取得最小值4.方法三：x0,y0,(x+)2.(y+)2.(x+)2+(y+)24.当且仅当y=且x=,且,即x=y=时取“=”号.答案：C 绿色通道：本题的方法二与方法三都用了不止一次基本不等式求范围，方法二中包含三个可用基本不等式的结构式，方法三是先有两个数学结构式用了基本不等式，然后出现的新结构式又用了一次基本不等式.这种处理方法是有前提条件的，也就是说对一个数学结构式重复使用基本不等式时，要注意“=”的延续性，即不论使用了几次基本不等式，取“=”号时的x,y的值应该是相同的，否则最后的“=”号是取不到的，如方法三中用“y=且x=且”来限制“=”号.【变式训练】 已知a,bR+，a+b=1，求证：(a+)(b+).思路分析：本题涉及“1”的代换问题，把不等式左侧中的“1”换成a+b,去括号后可以出现利用基本不等式的数学结构ab+,但其中+能用基本不等式，而ab+不能用，“=”号取不到，因而应考虑用构造函数法构造y=x+(x=ab)，求最小值，这要求求ab+的最小值用单调性法，而求+的最小值用基本不等式法，但二者应对应统一的a,b的值.证明：设y=ab+，则(a+)(b+)=ab+y+2(当a=2时，取等号)，因此，只要证y即可.设ab=x,x(0,则y=x+，且y=x+在（0,上为减函数.当x=时，ymin=，此时a=b=,ab+,(a+)(b+).【例3】 如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a,b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）思路分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y，由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y=.又由于受箱体材料多少的限制，a,b之间应有一定的关系式，即2(2b)+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a0,b0,当y=最小时，求a,b的值.解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=(k0)，其中k为比例系数.又据题意设22b+2ab+2a=60(a0,b0)，b=（由a0,b0,可得a0，要求y的最小值，必须求解ab的最大值.题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a0,b0),a+2b(当且仅当a=2b时取“=”号)，ab+30,可解得0ab18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.即a=6,b=3时，ab取最大值，从而y值最小. 绿色通道：利用不等式解决实际应用问题，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y=f(x)(x-般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约. 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形(如解法一).对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量（或常数）的方法，拼凑出类似函数y=x+ax的结构，然后用基本不等式（符合条件）或单调性求最值.这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的.【变式训练】 一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距s(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)，且pq.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.（1）把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/小时)的函数，并指出其定义域.（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？思路分析：由题意，全程燃料费由每小时的费用及航程时间来决定，所以应先找出每小时的燃料费用及全程航行时间，而第（2）问是求最值问题.是否需用基本不等式，要注意适用的条件，尤其是第（1）问的定义域，水速应小于船的最小速度，所以定义域应是（p,q.因此，本题若基本不等式的“=”号能满足即可求得结果，但也存在不能使“=”号成立的情况，因而，也需用函数的单调性求解.解：（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv2，全程航行时间为，于是全程燃料费用y=kv2,故所求函数是y=ks(pq.任取v1,v2(p,q且v1p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)0.y1-y20.故函数y在区间（p,q内递减，此时y(v)y(q).即ymin=y(q)=ks. 此时，船的前进速度等于q-p. 故为使全程燃料费用最小，当2pq时，船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/小时)；当2pq时，船的实际前进速度为q-p（千米/小时）.问题探究问题：如右图，粗细均匀的玻璃管长L=100厘米，开口向上竖直放置时，上端齐管口有一段h=25厘米的水银柱封闭着27 空气柱，大气压强为p0=75厘米汞柱，如果空气柱温度逐渐升高，欲使管内水银全部溢出，温度至少升到多高？导思：结合物理知识，转化为数学问题，要注意转化的数学式子的特点，寻找可以求最值的方法，而基本不等式的三个要求就是一个特征.探究：设管内空气柱温度升高