中考数学第四讲相似图形

第4讲相似图形 一 比例线段及比例的性质1 线段的比 在同一单位下 两条线段 的比叫做这两条线段的比 2 比例线段 四条线段a b c d中 如果a与b的比等于c与d的比 即 那么这四条线段a b c d叫做成比例线段 简称 长度 比例线段 友情提示 1 线段的比与比例线段是完全不同的两个概念 前者是指两条线段长度的比值 而后者是四条线段的数量关系 2 应注意成比例线段的顺序性 ad bc 二 黄金分割如图5 4 1 点C把线段AB分成两条线段AC和BC AC BC 如果 那么称线段AB被点C黄金分割 点C叫做线段AB的 叫做黄金比 即 一条线段有 个黄金分割点 黄金分割点 0 618 两 三 相似三角形1 定义 三角对应 三边对应 的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形 的比叫做相似比 2 性质 1 相似三角形对应角 对应边 2 相似三角形对应高的比 对应 的比和对应中线的比都等于相似比 3 相似三角形周长的比等于 面积比等于 相等 相等 成比例 周长 成比例 角平分线 相似比 相似比的平方 3 判定 1 两个三角形相似 2 两个三角形相似 3 两个三角形相似 友情提示 1 全等三角形是相似比为1的相似三角形 2 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个三角形相似 这与HL定理相似 两角对应相等 两边对应成比例且夹角相等 三边对应成比例 四 相似多边形1 定义 各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2 性质 1 相似多边形的 成比例 相等 2 相似多边形周长的比等于 面积比等于 3 如果两个边数相同的多边形对应边 对应角 那么这两个多边形相似 相等 相等 成比例 成比例 各边对应 各对应角 相似比 相似比的平方 五 位似图形1 如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做 这时相似比又称为 友情提示 保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换 位似图形是一种特殊的相似图形 而相似图形不一定是位似图形 利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小 相似图形 同一个点 位似中心 位似比 2 性质 位似图形除具有相似图形的一切性质 还具有下述性质 位似图形任一对对应点到 的距离之比等于 位似中心 位似比 1 给出下列说法 所有的正方形都相似 两邻边对应成比例的两个矩形相似 两个菱形必相似 有一个角相等的两个等腰梯形相似 其中正确的有 A 4个B 3个C 2个D 1个解析 两个多边形相似必须满足两个条件 对应角相等 对应边成比例 C 2 已知 ABC与 A1B1C1相似 且AB A1B1 1 2 则 ABC与 A1B1C1的面积比为 A 1 2B 1 4C 1 9D 1 B A 解析 ADE ACB AD与AC AE与AB DE与CB分别为对应边 4 如图5 4 3 小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度 镜子与铁塔的距离EB 20米 镜子与小华的距离ED 2米时 小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A 已知小华的眼睛距地面的高度CD 1 5米 则铁塔AB的高度是 米 15 6 已知线段a b c d成比例 且a 5cm b 12cm d 18cm 则线段c cm 7 5 7 如图5 4 4 已知E是矩形ABCD的边CD上一点 BF AE于F 试证明 ABF EAD 解析 本题应用 两角对应相等的两个三角形相似 证明两三角形相似 证明 四边形ABCD是矩形 BAD D 90 BAF EAD BAD 90 ABF BAF 90 ABF EAD又由 BFA D得 ABF EAD 本考点内容包括求线段的比 根据成比例线段的计算 比例的基本性质的应用 合 分比性质的判断应用 此类考题要分清线段的比与成比例线段的定义 理解透合 分比的性质 明确变形依据 掌握变形技巧 例1 2010 德化 下列各组线段 单位 cm 中 成比例线段的是 A 1 2 3 4B 1 2 2 4C 3 5 9 13D 1 2 2 3 答案 B 黄金分割因其独特性 完美性一直在中考占一席之地 考题主要涉及黄金比的计算 由黄金分割求其线段的长 应用黄金分割解决实际问题等 黄金比是两条线段特殊的比值 应用时应注意被黄金分割点分成的两条线段与原线段三者之间的数量关系 例2 美是一种感觉 当人体下半身长与身高的比值越接近0 618时 就给人一种美感 如图5 4 5 某女士身高165cm 下半身长x与身高l的比值为0 6 为尽可能达到好的效果 她应穿的高跟鞋的高度大约为 A 4cmB 6cmC 8cmD 10cm 答案 C 相似三角形的相关内容是中考必考考点 涉及题型全面 有选择 填空和解答题 并且有部分以动手操作 探究 分情况讨论等类型的新型题 重点考查相似三角形的性质和相似三角形的判定 解答时应充分利用数形结合思想 明确两个三角形中角的相等关系 线段的对应成比例关系等 图5 4 6 答案 B 利用三角形可以对生产 生活中的某些距离 长度进行巧妙地测量 如求树木 旗杆的高度 求河 湾的宽度 测量机器零件的内径等 解题时 应用题中条件构造相似三角形 和对应线段成比例由已知线段长求待求线段的长 例4 2010 芜湖 如图5 4 7 光源P在横杆AB的正上方 AB在灯光下的影子为CD AB CD AB 2m CD 6m 点P到CD的距离是2 7m 则AB与CD间的距离是 m 图5 4 7 思路分析 由AB CD可得 PAB PCD 由相似三角形对应高的比等于相似比可得P与AB的距离与P到CD的距离之比等于两个三角形的相似比 而AB与CD之间的距离等于P到CD与P到AB的距离之差 答案 1 8 成位似图形的两个图形不但相似 而且又存在位置上的特殊关系 本考点主要考查 1 判断两个图形是否是位似图形 2 找位似图形的位似中心 3 作某个图形关于某一点的位似图形 4 对位似图形的理解和认识 解题策略是 要明确位似图形与相似图形的区别与联系 位似图形中对应角相等 边成比例线段等要素对解决问题的作用 例5 2010 丹东 如图5 4 8 ABC与 A B C 是位似图形 且位似比是1 2 若AB 2cm 则A B cm 并在图中画出位似中心O 图5 4 8 图5 4 9 解 4如图5 4 9所示 C 解析 只要看最短线段与最长线段的积是否等于其它两条线段的积即可 D 解析 可利用比例的基本性质判断各选项得到的等积式与由x y 2 3得到的等积式3x 2y是否相同判断 3 如图5 4 10 ABC与 DEF是位似图形 相似比为2 3 已知AB 4 则DE的长等于 A 6B 5C 9 A 4 如图5 4 11 不等长的两对角线AC BD相交于O点 且将四边形ABCD分成甲 乙 丙 丁四个三角形 若OA OC OB OD 1 2 则此四个三角形的关系 下列叙述正确的是 A 甲丙相似 乙丁相似B 甲丙相似 乙丁不相似C 甲丙不相似 乙丁相似D 甲丙不相似 乙丁不相似 B 5 视力表对我们来说并不陌生 如图5 4 12是视力表的一部分 其中开口向上的两个 E 之间的变换是 A 平移B 旋转C 对称D 位似 D 6 如图5 4 13 ABC与 A B C 是位似图形 点O是位似中心 若OA 2AA S ABC 8 则SA B C 18 7 2010 沈阳 如图5 4 14 在 ABCD中 点E在边BC上 BE EC 1 2 连接AE交BD于点F 则 BFE的面积与 DFA的面积之比为 1 9 8 如图5 4 15 D E两点分别在 ABC的边AB AC上 DE与BC不平行 当满足 条件 写出一个即可 ADE ACB 10 如图5 4 16 ABCD中 E是CD的延长线上一点 BE与AD交于点F DE CD 1 求证 ABF CEB 2 若 DEF的面积为2 求 ABCD的面积 解析 本题主要利用相似三角形的基本图形得到各部分面积之比 1 证明 四边形ABCD是平行四边形 AB CE ABF E A C ABF CEB 1 对于比例线段问题 要