多元函数的全微分

二 可微的条件 一 全微分的概念 多元函数的全微分 第三节 第八章 函数的微分 一元函数y f x 的增量 当一元函数y f x 可导时 二元函数z f x y 当二元函数z f x y 对x的偏导数存在时 对x的偏增量 对x的偏微分 一 全微分的概念 1 问题的提出 对y的偏增量 对y的偏微分 当二元函数z f x y 对y的偏导数存在时 在点 x y 的全增量 问题 的线性函数来 近似代替函数的全增量 可否用自变量的增量 如果函数z f x y 在点 x y 处的 可表示成 其中A B不依赖于 x y 仅与x y有关 称为函数 在点 x y 的全微分 记作 则称函数 f x y 在点 x y 可微 全增量 2 全微分的定义 定义8 7 1 若函数在域D内各点都可微 则称此函数 2 由定义可知 f x y 在点 x0 y0 可微的充要条件是 在D内可微 注 定理8 2 多元函数可微的必要条件 若函数z f x y 在点 x y 可微 则 2 函数z f x y 在点 x y 的两个偏导数 存在 且有 1 函数z f x y 在点 x y 连续 从而 二 可微的条件 若z f x y 在点 x y 可微 则 证 1 可微与连续 可偏导的关系 得到对x的偏增量 2 由可微定义 有 从而 1 1 习惯上把自变量的增量用自变量的微分表示 同样可证 因此有 注 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 叠加原理也适用于二元以上函数的情况 2 可微与连续 可偏导的关系 对于多元函数 可微 连续 可偏导 3 如何判断多元函数的可微性 若不连续 则不可微 若偏导数不存在 则不可微 连续且偏导数存在时 用可微的充要条件判断 用此式判断函数在一点是否可微 例1 讨论 1 连续 2 偏导数存在 3 可微 解 1 0 f 0 0 2 3 则 2 可微与偏导数连续的关系 定理8 3 多元函数可微的充分条件 若函数 的偏导数 则函数f x y 在该点可微 证 由有限增量公式 即函数 在点 可微 注意到 故有 偏导数连续 可微 例2 证 令 则 同理 故函数在点 0 0 处连续 不存在 下面证明 可微 令 则 注此题表明 偏导数连续只是可微的充分条件 而非必要条件 多元函数连续 偏导数 可微的关系 例3 解 例4计算函数 在点 2 1 处的全微分 解 求函数 时的全增量和全微分 解 例5 从而 当x 2 y 1 x 0 01 y 0 03时 内容小结 1 微分定义 2 重要关系 3 讨论函数在 0 0 点是否可微的步骤 1 讨论函数在 0 0 点是否连续 若不连续 则不可微 2 讨论函数在 0 0 点的偏导数是否存在 若不存在 则不可微 3 当函数在 0 0 点连续 且偏导数存在时 用下式 讨论函数在 0 0 点是否可微 思考题 函数 在 可微的充分条件是 的某邻域内存在 时是无穷小量 时是无穷小量 备用题 解 例1 1 例1 2 解 例3 1