北师大时间序列分析第六章

第六章多维时间序列的AR模型 多维平稳序列多维平稳序列的均值和自协方差函数的估计多维AR p 序列 例 序列y1 y2 y3分别表示我国1952年至1988年工业部门 交通运输部门和商业部门的产出指数序列 第一节多维平稳序列 一 二阶矩有穷的多维时间序列定义1 1设为m维随机向量序列 其中若 则称为二阶矩有穷的m维随机向量序列 简称为m维随机序列 记分别称为的均值向量函数和协方差阵函数 其中 表示共轭转置 二 多维平稳时间序列定义1 2 设为m维二阶矩有穷随机序列 若均值向量函数和协方差函数满足则称为m维平稳序列 称为平稳相关 定理1 1为m维平稳序列的协方差阵函数 则 i ii iii iv 对任意正整数 m维复向量 有即为非负定阵 定义1 3 若m维平稳序列满足 1 1 其中S 0 正定阵 则称是m维平稳白噪声序列 简称m维白噪声序列 定义1 4 若m维随机序列满足 1 2 其中为满足 1 1 的s维白噪声序列 为常值阵序列 满足则称为m维平稳线性序列 可证 1 2 中的每个分量都均方收敛 且有 三 常见多维平稳模型1 多维滑动平均模型2 多维自回归模型 第二节多维平稳序列的均值和自协方差函数的估计 简单起见 以下假定序列为实序列一 均值的估计设是m维平稳序列 是观测值 均值的点估计定义为 相合性 定理2 1如果的每个分量序列都是严平稳遍历序列 则当时定理2 2如果自协方差函数满足条件则其中 定理2 3如果则当时 有 定理2 4如果为以下的m维平稳线性序列 二 自协方差函数的估计设是m维平稳序列 是观测值 的估计为 相关系数的估计为其中表示的第 i j 元素 自相关系数矩阵的估计是 第三节多维AR p 序列 一 多维ARMA模型定义3 1设为实m维平稳序列 称它为m维ARMA p q 序列 如果满足如下m维随机差分方程 3 1 其中为实系数阵 为实m维白噪声序列 记 3 2 且满足如下条件 i ii 和是左互质 即若 则 iii rank表示秩 若满足条件 i 则称 3 1 具有平稳性和可逆性 且有当p 0时 称 3 1 为m维MA q 模型 当q 0时 称 3 1 为m维AR p 模型 多维ARMA p q 模型 3 1 的传递形式和逆转形式分别为 且 注 对多维ARMA p q 模型建模时遇到两大困难 1 多维ARMA p q 模型的参数不可由唯一决定 当然也不可由的自协方差函数唯一决定称之为多维ARMA模型的不可识别性 2 一维ARMA模型中 对滑动平均参数的估计常要采用非线性最小二乘估计 对于多维情形就更复杂 更困难 二 多维AR模型定义3 2设为实m维平稳序列 称它为m维AR p 序列 如果满足如下m维随机差分方程 3 3 其中为实系数阵 为实m维白噪声序列 记 3 4 且满足如下条件 i ii VAR 1 模型的解 VAR 1 序列的自协方差函数 三 多维AR模型的参数估计目的 假定自回归的阶数p已知 求出自回归系数阵和白噪声方差阵S的估计 1 自回归系数阵的矩估计设为VAR p 序列 3 3 对 3 3 等式两边右乘 再求数学期望得 3 5 式取n 1 2 p可表为矩阵型的线性方程组 3 7 令 称 3 6 式为Yule Walker方程 它可表为 3 7 设为的长度为n的样本 当n充分大时 m维样本自协方差阵 3 8 可作为的估计 于是 系数阵的估计 AR p 模型的系数阵的估计 3 9 称为的矩估计 又称为Yule Walker估计 白噪声方差S的矩估计为 3 10 2 多维AR p 模型系数的最小二乘估计求使得 3 11 达最小 则必须满足 3 12 其中是的第行第j列的元素 则有 3 13 记 3 14 则 3 13 为 3 15 当n充分大时 渐近相等 系数阵的最小二乘估计 由 3 15 解出 记称之为的最小二乘估计 m维白噪声序列的方差阵S的最小二乘估计 3 16 3 多维AR p 模型系数阵的递推估计1 m维AR模型系数阵随阶数p的递推算法为了表示自回归系数阵随着模型阶数p而变 将它表示为则模型表示为 3 17 相应的记为 它满足 3 18 记 并定义 3 20 其中称之为 3 18 的对偶方程 解为 3 21 定理3 1多维AR模型系数阵估计随阶数p有如下递推公式 2 m维AR模型白噪声方差阵估计随阶数p的递推算法定理3 2当m维AR模型的阶数p增加时 白噪声方差阵估计有如下递推公式其中I为m阶单位阵 注 由定理3 2可递推得到 其中是0阶自回归序列的方差阵估计 可取为 四 多维AR模型的定阶1 FPE定阶准则 最终预报误差准则 为 3 22 满足的相应作为m维AR模型阶数的估计 此时m维AR模型的一步预报误差方差阵达最小 2 AIC定阶准则为 3 23 其中 满足的相应作为AIC定阶准则下的m维AR模型的定阶 3 BIC定阶准则为 3 24 满足的相应作为BIC准则下的m维AR模型的定阶 注 FPE准则与AIC准则是一致的 五 多维AR模型的维数选取与预报1 维数的选取目的 设为m维AR序列 考察m维时序所提供的信息能否用部分分量序列 依据 前个分量记为引入 3 25 其中表示阵的左上角阶子方阵 表示AR p 序列的最终预报误差方差阵 它与 3 25 比较 如果 3 26 则认为仅考虑前维时序就够了 如果 3 27 则应考虑用m维时序 步骤 在m维时序每去掉一维进行比较 由 3 26 3 27 决定取舍 逐步反复比较 2 m维AR p 序列的预报步最小均方误差阵的预报为 3 28 步线性最小均方误差阵的预报为 3 29 例 序列X1 X2 X3分别表示我国1952年至1988年工业部门 交通运输部门和商业部门的产出指数序列 试建立多维AR模型 估计 为避免数据的剧烈波动 首先对序列进行对数化处理 对估计结果的几点注释 1 考虑到有同样变量的多个滞后 可能由于多重共线性 所估计的每一个系数不都是统计上显著的 但集体地看这些系数也许会在标准的F检验的基础上显著 例如在对LY1的回归中 仅在滞后1 2的LY1系数和滞后1期的LY2的系数是统计上显著的而其余的都不是 但总的系数的F检验是统计显著的 2 最值得关注的是窗口的最后一部分 其结果是针对Var系统整体而言 其中包括决定性残差协方差 对数似然函数值和AIC与SC信息量 本例中AIC函数当P 3时最小 而SC则在P 1时最小 故 考虑由LR 似然比 检验进行取舍 原假设模型的最大滞后期为1 即P 1 检验统计量 其中 分别表示p 1 p 3时模型整体的对数似然函数值 在零假设下 该统计量渐近分布 自由度为从Var 3 到Var 1 对模型参数施加的零约束的个数 Pval 0 00096 故拒绝原假设 采用滞后期为3 预报 六 Var建模的一些问题1 优点方法简单无须决定哪些变量是内生的 哪些变量是外生的 估计简单常用的OLS法可用于逐个地估计每一方程 预报好在许多案例中 用此法得到预报优于用更复杂的联立方程模型得到的预报 2 存在的问题 不同于联立方程模型 Var利用较少的先验信息 所以是乏理论的 atheoretic 由于重点放到预测 Var模型较不适合于政策分析对Var建模最大的挑战在于选择适当滞后长度模型中m个分量严格讲应该是 联合 平稳的 如不然 则有必要适当变换数据 如 差分 这给估计带来较大的难度所估计的模型中的系数往往难于逐一地加以解释 故Var技术的操作人员常估计一种所谓的脉冲响应函数以描述Var系数中的因变量如何响应与方程种的误差项的冲击 第四节脉冲响应函数 脉冲响应函数 IRF ImpulseResponseFunction 用于衡量来自随机扰动项的一个标准差冲击对内生变量当前和未来取值的影响1 定义一个向量自回归写成向量的形式 1 定义一个向量自回归写成向量的形式于是 即的第i行 第j列元素等于时期t第j个变量的创新增加一个单位而其他时期其他创新为常数的情况下对时期t s的第i个变量的值 的影响 定义的第i行 第j列元素 定义的第i行 第j列元素作为s的一个函数 称作脉冲 响应函数 它描述了在时期t的其他变量和早期变量不变情况下对的一个暂时变化的反应 例 考虑如下的两变量Var 1 模型 其中 P和M分别表示产量和货币流通额 模型中随机扰动项也称为新息 Innovation 由上面两式构成的Var 1 模型中 如果发生变化 不仅当前的P值立即改变 而且还会通过当前的P值影响到变量P和M今后的取值 脉冲响应函数试图描述这些影响的轨迹 显示任意一个变量的扰动如何通过模型影响其他变量 最终又反馈到自身的过程 2对所建Var 3 模型进行脉冲响应函数的分析 第五节方差分解 一 方差分解的主要思想把系统中每个内生变量 共k个 波动 L步预报均方误差 按其成因分解为与各方程新息相关联的k个组成部分 从而了解各新息对模型内生变量的相对重要性 记 向量自回