高等数学第四章不定积分PPT课件

第四章 微分法 积分法 互逆运算 不定积分 4 1不定积分的概念与性质 定义1 设F x 与f x 是定义在某区间上的函数 如果在该区间上有或 则称F x 是f x 在这个区间上的一个原函数 4 1 1原函数 问题 1 在什么条件下 一个函数的原函数存在 2 若原函数存在 它如何表示 定理1 存在原函数 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动目录上页下页返回结束 定理 原函数都在函数族 C为任意常数 内 证 1 又知 故 即 属于函数族 机动目录上页下页返回结束 即 定义2 在区间I上的原函数全体称为 上的不定积分 其中 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 若 则 C为任意常数 C称为积分常数不可丢 例如 记作 4 1 2不定积分的概念 4 1 3不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 机动目录上页下页返回结束 的积分曲线 例1 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 所求曲线过点 1 2 故有 因此所求曲线为 机动目录上页下页返回结束 例2 质点在距地面 处以初速 力 求它的运动规律 解 取质点运动轨迹为坐标轴 原点在地面 指向朝上 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻t质点所在位置为 则 运动速度 加速度 机动目录上页下页返回结束 垂直上抛 不计阻 先求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 机动目录上页下页返回结束 故 性质1一个函数积分后导数或微分等于这个函数 性质2一个函数微分后积分 等于这个函数加上任意常数 4 1 4不定积分的简单性质 性质3积分形式不变性如果u为x的任何可微函数 则有 性质4函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和 性质5常数因子可从积分号中提出 k是常数且k 0 4 2不定积分的基本公式 k为常数 机动目录上页下页返回结束 或 或 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例1 例2 例3 求 解 原式 例4 求 解 原式 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例6 求 解 原式 例7 求 解 原式 注意方法 例8 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 注意方法 例1 例2 例3 求 解 原式 例4 求 解 原式 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例6 求 解 原式 例7 求 解 原式 注意方法 例8 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 注意方法 内容小结 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2 直接积分法 利用恒等变形 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 代数公式 积分性质 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 若 提示 机动目录上页下页返回结束 2 若 是 的原函数 则 提示 已知 机动目录上页下页返回结束 3 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 提示 已知 求 即 B 或由题意 其原函数为 机动目录上页下页返回结束 4 求下列积分 提示 机动目录上页下页返回结束 5 求不定积分 解 机动目录上页下页返回结束 6 已知 求A B 解 等式两边对x求导 得 机动目录上页下页返回结束 二 第二类换元法 一 第一类换元法 机动目录上页下页返回结束 4 3两种积分法 第四章 4 3 1 换元积分法 复合函数的微分法大大拓展了求导数 或求积分 的范围 同样 将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法 换元积分法 按其应用方法得不同可分为两种换元法 1第一换元积分法 如果不定积分用基本积分法不易求得 但被积表达式可分解为 作变量代换 得到 则 而可以求出 不妨设 这一步常称为 凑积分 第二步就是求不定积分 定理 第一类换元积分法 设 且在区间I可微 则 用第一换元积分法求不定积分 分为两步完成 第一步从f x 中分出一个因子 使与dx凑成u的微分du 并把被积函数剩下的部分写成的u函数 即 例 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 机动目录上页下页返回结束 设 可导 则有 一 第一类换元法 定理1 则有换元 公式 也称配元法 即 凑微分法 机动目录上页下页返回结束 例1 求 解 原式 注 当 时 机动目录上页下页返回结束 例2 求 解 想到公式 机动目录上页下页返回结束 例3 求 想到 解 直接配元 机动目录上页下页返回结束 例4 求 解 机动目录上页下页返回结束 类似 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 常用的几种配元形式 万能凑幂法 机动目录上页下页返回结束 例6 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例7 求 解 原式 例8 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例9 求 解法1 解法2 两法结果一样 机动目录上页下页返回结束 例10 求 解法1 机动目录上页下页返回结束 解法2 同样可证 或 机动目录上页下页返回结束 例11 答案的另一种形式 例12 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例13 求 解 机动目录上页下页返回结束 例14 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例15 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 分析 例16 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 小结 常用简化技巧 1 分项积分 2 降低幂次 3 统一函数 利用三角公式 配元方法 4 巧妙换元或配元 万能凑幂法 机动目录上页下页返回结束 利用积化和差 分式分项 利用倍角公式 如 思考与练习 1 机动目录上页下页返回结束 2 求 提示 法1 法2 法3 作业目录上页下页返回结束 由例子看出 要想熟练运用凑积分法 记为一些常见函数的微分是很重要的 例如 等等 例1求 解把被积式中ln2x看成lnx的函数 剩下的因式恰好是lnx的微分dlnx 令lnx u 则 于是 把u lnx代入上式右端 得到 例2求 解把被积式中看成的函数 剩下部分乘上可以凑成的微分 令 u 则 于是 把代入上式右端 得到 例3求 解 解利用三角函数积化和差公式 我们有 于是 例4求 例5求 解 2第二类换元法 机动目录上页下页返回结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则得第二类换元积分法 难求 定理2 设 是单调可导函数 且 具有原函数 证 令 则 机动目录上页下页返回结束 则有换元公式 定理 第二换元积分法 则 设函数 在区间I可微且存在反函数 如果 例1求 解被积函数中含有根式 令x t2 t 0 则dx dt2 2tdt于是 例2求 解令u ex 或x lnu 于是 此题也可用 加减项法 得到的结果是一样的 例3求 解 例4求 解 例5求 解 例6求 解 例7求 解 例8 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 例9 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 例10 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 令 于是 机动目录上页下页返回结束 说明 被积函数含有 时 除采用 采用双曲代换 消去根式 所得结果一致 或 或 机动目录上页下页返回结束 三角代换外 还可利用公式 原式 例11 求 解 令 则 原式 当x 0时 类似可得同样结果 机动目录上页下页返回结束 小结 1 第二类换元法常见类型 令 令 令 或 令 或 令 或 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 常用基本积分公式的补充 7 倒数代换 令 机动目录上页下页返回结束 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例12 求 例13 求 解 例14 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例15 求 解 原式 例16 求 解 令 得 原式 机动目录上页下页返回结束 例17 求 解 原式 令 例16目录上页下页返回结束 思考与练习 1 下列积分应如何换元才使积分简便 令 令 令 机动目录上页下页返回结束 2 已知 求 解 两边求导 得 则 代回原变量 机动目录上页下页返回结束 备用题1 求下列积分 机动目录上页下页返回结束 2 求不定积分 解 利用凑微分法 原式 令 得 机动目录上页下页返回结束 分子分母同除以 3 求不定积分 解 令 原式 机动目录上页下页返回结束 第三节 由导数公式 积分得 分部积分公式 或 1 v容易求得 容易计算 机动目录上页下页返回结束 分部积分法 第四章 例1 求 解 令 则 原式 思考 如何求 提示 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 例2 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 例3 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 例4 求 解 令 则 原式 再令 则 故原式 说明 也可设 为三角函数 但两次所设类型 必须一致 机动目录上页下页返回结束 例4 求 解 令 则 原式 再令 则 故 机动目录上页下页返回结束 解题技巧 把被积函数视为两个函数之积 按 反对幂指三 的 顺序 前者为后者为 例5 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 反 反三角函数对 对数函数幂 幂函数指 指数函数三 三角函数 例6 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 例7 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 令 例8 求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 例9 求 解 令 则 得递推公式 机动目录上页下页返回结束 说明 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如 机动目录上页下页返回结束 例10 证明递推公式 证 注 或 机动目录上页下页返回结束 说明 分部积分题目的类型 1 直接分部化简积分 2 分部产生循环式 由此解出积分式 注意 两次分部选择的u v函数类型不变 解出积分后加C 例4目录上页下页返回结束 例11 已知 的一个原函数是 求 解 说明 此题若先求出 再求积分反而复杂 机动目录上页下页返回结束 例12 求 解法1先换元后分部 令 即 则 故 机动目录上页下页返回结束 解法2用分部积分法 机动目录上页下页返回结束 内容小结 分部积分公式 1 使用原则 2 使用经验 反对幂指三 前u后 3 题目类型 分部化简 循环解出 机动目录上页下页返回结束 例13 求 解 令 则 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 下述运算错在哪里 应如何改正 得0 1 答 不定积分是原函数族 相减不应为0 求此积分的正确作法是用换元法 机动目录上页下页返回结束 2 求 提示 机动目录上页下页返回结束 2 求不定积分 解 方法1 先分部 再换元 令 则 机动目录上页下页返回结束 方法2 先换元 再分部 令 则 故 机动目录上页下页返回结束 3 求不定积分 解 令 则 故 机动目录上页下页返回结束 分母次数较高 宜使用倒代换 4 求不定积分 解 原式 前式令 后式配元 机动目录上页下页返回结束 习题课 一 求不定积分的基本方法 机动目录上页下页返回结束 二 几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四章 一 求不定积分的基本方法 1 直接积分法 通过简单变形 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 2 换元积分法 注意常见的换元积分类型 代换 机动目录上页下页返回结束 3 分部积分法 使用原则 1 由 易求出v 2 比 好求 一般经验 按 反 对 幂 指 三 的顺序 排前者取为u 排后者取为 机动目录上页下页返回结束 多次分部积分的规律 机动目录上页下页返回结束 快速计算表格 特别 当u为n次多项式时 计算大为简便 4 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例2 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 分析 5 求 解 原式 分部积分 机动目录上页下页返回结束 例4 设