多元函数的偏导数和全微分

一 偏导数的概念 二 高阶偏导数 三 可微与偏导数的关系 3 4多元函数的偏导数和全微分 四 全微分 在二元函数z f x y 中 有两个自变量x y 但若固定其中一个自变量 比如 令y y0 而让x变化 则z成为一元函数z f x y0 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数 称为偏导数 一 偏导数的定义 设z f X f x y 在X0 x0 y0 的某邻域U X0 内有定义 固定y y0 在x0给x以增量 x 相应函数增量记作 称为z在点X0处关于x的偏增量 定义 则称这个极限值为z f x y 在 x0 y0 处对x的偏导数 即 此时也称f x y 在 x0 y0 处对x的偏导数存在 否则称f x y 在 x0 y0 处对x的偏导数不存在 称为z f x y 在 x0 y0 处对y的偏导数 称为z对自变量x的偏导函数 简称偏导数 1 由偏导数定义知 所谓f x y 对x的偏导数 就是将y看作常数 将f x y 看作一元函数来定义的 因此 在实际计算时 注 求f x x y 时 只须将y看作常数 用一元函数求导公式求即可 求f y x y 时 只须将x看作常数 用一元函数求导公式求即可 2 计算 三种方法 1 用定义计算 2 先计算再代值得 3 先计算再计算再计算 例1 解 或f x 2 x2 6x 4 f x x 2 2x 6 故f x 1 2 2 6 8 练习 解 例2 解 例3 解 偏导数的概念可推广到三元以上函数中去 比如 设u f x y z 它的求法 就是将y z均看作常数来求即可 例4 解 例5已知 求 解 15 练 在一元函数中 可导必连续 但对多元函数不适用 即 对多元函数f X 而言 即使它在X0的对各个自变量的偏导数都存在 也不能保证f X 在X0连续 偏导与连续的关系 例设 证明 z f x y 在 0 0 的两个偏导都存在 但它在 0 0 不连续 0 0 故z f x y 在 0 0 的两个偏导都存在 z f x y 在 0 0 的两个偏导都存在 证 当k不同时 极限也不同 f x y 在 0 0 的极限不存在 z f x y 在 0 0 的极限不存在 因此它在 0 0 不连续 从几何上看 f x x0 y0 存在 只保证了一元函数f x y0 在x0连续 也即y y0与z f x y 的截线 1在M0 x0 y0 z0 是连续的 同理 f y x0 y0 存在 只保证了x x0与z f x y 的截线 2在M0连续 但都不能保证曲面z f x y 在M0连续 21 在二元函数中 连续不一定能保证偏导数存在 有时某些 不连续的点 偏导数却存在 例 函数 在点 0 0 连续 但其偏导数不存在 不存在 同理 不存在 当X从任何方向 沿任何曲线趋于X0时 f X 的极限都是f X0 由于它们还是x y的函数 因此 可继续讨论 二 高阶偏导数 设 在区域D内可偏导 若 偏导 注 1 二元函数的二阶导数一共有四个 二阶混合偏导数 类似 可得三阶 四阶 n阶偏导数 例1 解 若不是 那么满足什么条件时 二阶混合偏导数才相等呢 问题 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等 定理1 若二阶混合偏导数连续 则它们与 即 求导次序无关 例2求 的二阶偏导数 解 三 全微分的概念 复习一元函数的微分 可导 微商 可微 一般说来 算这个改变量较麻烦 希望找计算它的近似公式 该近似公式应满足 1 好算 2 有一定的精确度 在实际中 常需计算当两个自变量都改变时 二元函数z f X f x y 的改变量f x0 x y0 y f x0 y0 类似一元函数的微分概念 引进记号和定义 记 z f x0 x y0 y f x0 y0 f X X f X0 其中X0 x0 y0 X x y 称为z f X f x y 在点X0 x0 y0 的全增量 设z f X f x y 在U x0 内有定义 若z f x y 在点 x0 y0 的全增量 z f x0 x y0 y f x0 y0 z A x B y o X 其中A B是只与x0 y0有关 而与 x y无关的常数 定义 称A x B y为z f x y 在点 x0 y0 处的全微分 则称z f x y 在点 x0 y0 可微 1 按定义 z f x y 在点 x0 y0 可微 注 2 若z在点X0 x0 y0 可微 即 z A x B y o X 3 若z f x y 在区域D内处处可微 则称z f x y 在D内可微 z在 x y D处的全微分记作dz 即dz A x y x B x y y 它实际上是一个以x y x y为自变量的四元函数 一元函数z f x 若 z A x o x 1 若z f x y 在点 x0 y0 可微 微分式dz A x B y中系数A B如何求 是否与z的偏导有关 2 在一元函数中 可微与可导是等价的 在二元函数中 可微与存在两个偏导是否也等价 3 在一元函数中 可微 连续 对二元函数是否也对 dz A x f x x 结论 对二元函数z f x y z在 x0 y0 可微 不是存在两个偏导 z在 x0 y0 连续 若z f x y 在点X x y 处可微 则z f x y 在点 x y 处两个偏导 且z在 x y 处的全微分为 定理1 偏导数存在 可微 可微 存在两个偏导 偏导数存在且连续 可微 例1 证明z在 0 0 处的两个偏导存在 但z在 0 0 不可微 证由偏导定义 0 0 而 故z在 0 0 不可微 连续 可导与可微的关系 定理 定理 可微的定义 例1 例2求z x2cosxy的全微分 解 故dz 2xcosxy x2ysinxy dx x3sinxydy 例3求z exy在点 2 1 处的全微分 解 故dz yexydx xexydy 例4求u xyz的全微分 解 故du yzxyz 1dx zxyzlnxdy yxyzlnxdz xyz 1 yzdx xzlnxdy xylnxdz 49 二