时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型

第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 本章结构 滑动平均模型ARMA模型 3 1滑动平均模型 模型引入MA q 和MA q 序列最小序列MA q 系数的递推计算MA q 模型举例 q步相关 平稳序列的自协方差函数若满足 则称是q步相关的 滑动平均模型的例子 每隔两小时记录的化学反应数据时间序列 一阶差分得的样本自相关系数列呈现截尾性 可以拟合 1 1 模型特点是1步截尾 MA q 模型和MA q 序列 定义1 1设是 如果实数使得则称 1 2 是q阶滑动平均模型 简称为MA q 模型 称由 1 2 决定的平均序列是滑动平均模型 简称为MA q 序列 如果进一步要求多项式在单位圆周上也没有零点 当 则称 1 2 是可逆的MA q 模型 称相应的平稳时间序列是可逆的MA q 序列 MA的特征 用推移算子把模型写为 1 3 对于可逆MA 有Taylor展式所以 1 4 MA序列的自协方差函数 记 则对MA q 序列有 1 5 MA序列的谱密度 定理1 1MA q 序列的自协方差函数是q步截尾的 1 6 并且有谱密度 1 7 MA q 序列的充要条件 定理1 3设零均值平稳序列有自协方差函数 则是MA q 序列的充分必要是 引理1 2 引理1 2设实常数使得和则有唯一的实系数多项式 1 8 使得这里为某个正常数 注 定理1 3的证明 由自协方差绝对可和时谱密度公式得由引理 单位圆内没有根 如果在单位圆上都没有根 则可定义 用线性滤波的谱密度公式可得的谱密度是白噪声谱密度 单位圆上可能有根的一般情况可以用hilbert空间预测的方法证明 MA q 系数的计算 MA q 序列的系数及可以被数唯一确定 可以用文献方法计算模型参数 MA q 系数的计算 记 1 11 则有 1 12 其中 1 13 MA 1 序列 可逆MA 1 自协方差和自相关 谱密度偏相关系数不截尾 逆表示 MA 2 序列 可逆MA 2 可逆域 自协方差自相关系数谱密度 MA 2 序列的实际例子 MA 2 的实际例子 特征根为 3 2自回归滑动平均模型 ARMA p q 模型及其平稳解ARMA p q 序列的自协方差函数ARMA p q 模型的可识别性ARMA序列的谱密度和可逆性例子 ARMA模型 定义2 1设是 实系数多项式和没有公共根 满足以及 2 1 就称差分方程 2 2 是一个自回归滑动平均模型 简称ARMA p q 模型 称满足 2 2 的平稳序列为平稳解或ARMA p q 序列 ARMA模型平稳解 模型写成 2 3 在解析 为的所有根 可以Taylor展开 2 4 易见是线性平稳列 两边用作用即是ARMA p q 模型 2 2 的解 惟一平稳解 反之 若是 2 2 的一个平稳解 在 2 2 两边用既得即 2 6 是ARMA p q 模型 2 2 的唯一平稳解 称 2 6 中的为的Word系数 定理2 1由 2 6 定义的平稳序列是ARMA p q 模型 2 2 的唯一平稳解 ARMA模型方程的通解 模型 2 2 的任意解可写成 2 7 其中为平稳解 2 6 为的全体互不相同的零点 有重数随机变量由唯一决定 ARMA序列的模拟生成 2 8 可以据此模拟ARMA模型 取初值递推的当m较大时取后一段作为ARMA p q 模型的模拟数据 当有靠近单位圆的根时m要取得较大 ARMA序列的自协方差函数 可由wold系数表示 2 10 由于由 2 10 可得 ARMA模型Wold系数的递推公式 记或由参数计算时可以递推 2 11 Wold递推公式的证明 记 注意 比较系数得即 2 11 成立 可识别性 我们将证明 由ARMA p q 模型的自协方差函数可以决定ARMA p q 模型的参数 引理2 2设是 2 2 的平稳解 如果又有白噪声和实系数多项式使得成立 则的阶数的阶数 ARMA序列的Y W方程 ARMA模型的平稳解为所以 1 两边同乘以求期望得即 当时上式为 总之 2 14 对的Y W方程可以写成矩阵形式 2 15 把系数矩阵记为 只要可逆则可解出 2 解出后令则是一个MA q 序列 其自协方差函数为q步截尾 且 可以用3 1的方法唯一解出 于是 只要可逆 则ARMA p q 序列的自协方差函数和ARMA p q 模型的参数相互惟一决定 ARMA模型中AR部分的参数求解 定理2 3设为ARMA p q 序列的自协方差函数列 则时可逆 证明 用反证法然后由引理2 2导出矛盾 设不满秩 则存在使得即 2 18 注意当时 所以这是 所以取有 递推得上式当时也成立 因此 令 则是零均值平稳列 利用可知的自协方差步截尾 是MA q 1 序列 存在使得与引理2 2矛盾 ARMA模型的一个充分条件 定理2 4设零均值平稳序列有自协方差函数 又设实数使得满足最小相位条件 另外 2 9 则是一个ARMA序列 其中 定理2 4证明 证明 设 则是零均值平稳序列 满足 所以有说明的自协方差函数是q后截尾的 由定理1 3知道 为一个MA q 序列 即存在单位圆内没有根的q阶实系数多项式使得和 2 20 其中是 如果和没有公因子 上述模型就是所需要的ARMA p q 模型 否则设公因子是 则有这是 2 20 变成两边乘以 显然也满足最小相位条件 后得到所需要ARMA模型 为 有理谱密度 由于ARMA序列的绝对可和 以及平稳解的线性序列表达式 可得ARMA p q 序列 2 6 有谱密度 2 21 形如 2 21 的谱密度被称为有理谱密度 可逆的ARMA模型 定义2 2在ARMA p q 模型的定义2 1中 如果进一步要求在单位圆上无限 2 22 则称ARMA p q 模型 2 2 为可逆的ARMA模型 称相应的平稳解为可逆的ARMA p q 序列 对于可逆的ARMA p q