随机序列及数字特征PPT课件

1 第一章基础知识 时域离散随机信号分析 1 1随机序列与随机矢量 1 1 1时域离散随机信号 随机序列 1 随机序列的特征 随机序列是所有可能的随机变量的集合 其特征是 幅度和时间均取离散值 其中离散时间用序号表示 每个时间点上的信号取值是随机的 不可预测 2 2 符号与意义 3 注意 为方便计 以下讨论有时用或表示随机序列或随机变量 将样本序列简单表示为 根据随机过程的定义 一个随机序列就是一个随机过程 4 1 1 2随机矢量 随机矢量 是有限维或无限维随机变量的集合 表示为 其中 表示随机变量在时间的样本值 有限维 维 随机矢量 常用 一维 二维 5 1 2随机序列的统计描述 随机变量取值是随机的 但其统计特性 包括概率特性和统计平均特性 是确定的 因此时域可用其特性量表征 频域用功率谱表征 6 二维 描述随机序列中两个时间点 与 上的随机变量与之间的关系 即上式含义 与点的随机变量与 其取值同时满足及的概率 亦称 二维联合概率分布函数 1 2 1概率描述1 概率分布函数 一维 描述随机序列在某一时刻的统计特性 即上式含义 随机变量在点上取值不超过的概率 7 2 概率密度函数 一维 设取连续值 则一维概率密度函数定义为 1 2 3 因此 可等价表示为 式中 是在范围到内 取值的微概率 二维 对于连续变量和 其二维概率密度函数为 1 2 4 8 说明 概率分布函数可完整地描述随机序列 但实际中却很难得到 而随机序列的数字特征 统计平均值 方差 相关函数等 比较容易测量和计算 因此常用这些数字特征描述随机序列 9 1 2 2随机序列的数字特征 1 数学期望 统计平均值 一阶原点矩 定义 1 2 5 意义 表示随机过程的全部样本在同一时刻 点 随机变量取值的中心 统计平均值 随机变量在n时刻的取值 取值区间 x x x 上的微概率 密度函数 10 2 均方值与方差 1 均方值 二阶原点矩 定义 1 2 6 意义 如果代表电流或电压 均方值则表示在时刻消耗在1 电阻上的集合平均功率 2 方差 二阶中心矩 定义 1 2 7 有时将 x称为标准方差 11 意义 方差表示取值的分散程度 或偏离中心值的大小 如果代表电流或电压 方差则表示消耗在1 电阻上的交变功率的集合平均 3 相关函数与协方差函数 1 自相关函数 二阶联合原点矩 定义 1 2 8 式中的 表示复共轭 意义 反映同一随机序列在不同时刻取值的关联程度 12 2 自协方差函数 二阶联合中心矩 定义 1 2 9 或者表示为 1 2 10 若 则 1 2 11 即对零均值随机序列 自相关函数与自协方差函数相等 意义 反映同一随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度 13 3 互相关函数 定义 1 2 12 意义 描述两个随机序列在不同时刻取值的关联程度 4 互协方差函数 定义 1 2 13 当时 有 1 2 11 意义 描述两个随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度 14 1 2 3平稳随机序列及其数字特征 1 何谓平稳随机序列 平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而变化 狭义 严 平稳随机序列 其维概率分布函数满足 1 2 12 即这类平稳随机序列的维概率分布函数与的起始位置无关 实际很难实现狭义 严 平稳随机序列 将随机序列在时间上平移k 其统计特性不变 意味着与时间起点无关 15 广义 宽 平稳随机序列 均值和均方差不随时间改变 其相关函数仅是时间差的函数 下面重点研究广义平稳随机序列 并简称为 平稳随机序列 2 实平稳随机序列的数字特征 1 与时间无关的数字特征 均值 1 2 13 均方值 1 2 14 16 方差 1 2 15 2 与起始时间无关 仅与时间差有关的数字特征 自相关函数 1 2 16a 或 1 2 16b 17 自协方差函数 1 2 17 互相关函数 或 1 2 18 互协方差函数 1 2 19 18 3 实平稳随机序列的相关函数 协方差函数的性质 1 是的偶函数 1 2 20 1 2 21 2 的值等于随机序列的平均功率 1 2 22 参见 1 王永德 随机信号分析基础 第二版 p46 p49 2 王宏禹 随机数字信号处理 p4 19 3 1 2 23 4 随着时间差的增大 随机序列内部的相关性减弱 1 2 24 1 2 25 5 1 2 26 1 2 27 20 4 平稳随机序列互为正交与互不相关条件 1 正交对于所有的 若满足 则称两个随机序列相互正交 2 不相关于所有的 若满足 则称两个随机序列互不相关 小结 对于平稳随机序列 其数字特征中最主要的是自相关函数 表现为 问题 解释正交条件和互不相关条件 21 时 均方值 当时 与不相关 则 当时 频域 当时 功率谱函数 22 1 2 4随机序列数字特征的矢量表示 已知维随机矢量为 的均值矢量的均值是一个维矢量 1 2 28 式中 为维随机矢量的联合